Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir koninin boyutları değiştirildiğinde hacminin nasıl etkilendiğini adım adım inceleyeceğiz. Koninin hacim formülünü hatırlayarak işe başlayalım.
- Adım 1: Koninin Hacim Formülünü Hatırlayalım
- Bir koninin hacmi $V$, taban yarıçapı $r$ ve yüksekliği $h$ olmak üzere şu formülle bulunur:
$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$
Bu formül, koninin hacminin yarıçapın karesiyle ve yüksekliğiyle doğru orantılı olduğunu gösterir.
- Adım 2: Eski Koninin Hacmini Tanımlayalım
- Başlangıçtaki (eski) koninin yarıçapına $r_1$, yüksekliğine $h_1$ diyelim.
Bu durumda, eski koninin hacmi $V_1$ şöyle olur:
$V_1 = \frac{1}{3}\pi r_1^2 h_1$
Hesaplamalarımızı kolaylaştırmak için $r_1 = r$ ve $h_1 = h$ kabul edebiliriz.
Yani, $V_1 = \frac{1}{3}\pi r^2 h$
- Adım 3: Yeni Koninin Boyutlarını Belirleyelim
- Soruda belirtildiği gibi, yeni koninin taban yarıçapı iki katına çıkarılıyor ve yüksekliği yarıya indiriliyor.
Yeni koninin yarıçapı $r_2$ ve yüksekliği $h_2$ olsun:
- Taban yarıçapı iki katına çıkarılır: $r_2 = 2 \times r_1 = 2r$
- Yüksekliği yarıya indirilir: $h_2 = \frac{h_1}{2} = \frac{h}{2}$
- Adım 4: Yeni Koninin Hacmini Hesaplayalım
- Şimdi, yeni koninin $r_2$ ve $h_2$ değerlerini kullanarak hacmini ($V_2$) hesaplayalım:
$V_2 = \frac{1}{3}\pi r_2^2 h_2$
$r_2 = 2r$ ve $h_2 = \frac{h}{2}$ değerlerini formülde yerine koyalım:
$V_2 = \frac{1}{3}\pi (2r)^2 \left(\frac{h}{2}\right)$
Önce parantez içindeki kare alma işlemini yapalım: $(2r)^2 = 4r^2$
$V_2 = \frac{1}{3}\pi (4r^2) \left(\frac{h}{2}\right)$
Şimdi çarpma işlemlerini yapalım:
$V_2 = \frac{1}{3}\pi \frac{4r^2 h}{2}$
Sadeleştirme yapalım ($4/2 = 2$):
$V_2 = \frac{1}{3}\pi (2r^2 h)$
Bu ifadeyi daha düzenli yazarsak:
$V_2 = 2 \times \left(\frac{1}{3}\pi r^2 h\right)$
- Adım 5: Yeni Hacmi Eski Hacimle Karşılaştıralım
- Hatırlayalım ki eski koninin hacmi $V_1 = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ idi.
Yeni koninin hacmi $V_2 = 2 \times \left(\frac{1}{3}\pi r^2 h\right)$ olarak bulduk.
Bu durumda, $V_2 = 2 \times V_1$ olduğunu açıkça görebiliriz.
Yani, yeni koninin hacmi eski koninin hacminin 2 katı olur.
Bu tür sorularda, formüldeki değişkenlerin nasıl değiştiğini dikkatlice yerine yazmak ve matematiksel işlemleri doğru yapmak çok önemlidir. Gördüğümüz gibi, yarıçapın karesi alındığı için yarıçaptaki değişim hacmi daha fazla etkiler.
Cevap B seçeneğidir.
