Maksimum minimum problemleri Test 2

\(y = x^2 - 4x + 7\) parabolü üzerinde, \(A(2, 1)\) noktasına en yakın noktanın koordinatları toplamı kaçtır?

A) 4
B) 5
C) 6
D) 7

• Merhaba sevgili öğrenciler! Bugün, bir parabol üzerindeki bir noktaya en yakın noktayı bulma problemini adım adım çözeceğiz. Bu tür problemler genellikle türev kullanarak minimum veya maksimum değerleri bulma prensibine dayanır.
• Öncelikle, parabolümüzün denklemi $y = x^2 - 4x + 7$ ve dışarıdaki noktamız $A(2, 1)$. Parabol üzerindeki herhangi bir noktayı $P(x, y)$ olarak alalım.
• $P(x, y)$ noktasının $A(2, 1)$ noktasına olan uzaklığını $d$ ile gösterelim. İki nokta arasındaki uzaklık formülü: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ şeklindedir. Buna göre, $d = \sqrt{(x - 2)^2 + (y - 1)^2}$ olur.
• Parabol üzerindeki bir nokta olduğu için $y = x^2 - 4x + 7$ denklemini uzaklık formülündeki $y$ yerine yazabiliriz. Böylece uzaklık denklemi sadece $x$ değişkenine bağlı hale gelir: $d = \sqrt{(x - 2)^2 + ((x^2 - 4x + 7) - 1)^2}$ $d = \sqrt{(x - 2)^2 + (x^2 - 4x + 6)^2}$
• Uzaklığın minimum olması için, uzaklığın karesinin ($d^2$) minimum olması yeterlidir. Bu, karekökten kurtulmamızı ve işlemleri basitleştirmemizi sağlar. $f(x) = d^2$ diyelim: $f(x) = (x - 2)^2 + (x^2 - 4x + 6)^2$
• Şimdi $f(x)$ fonksiyonunun minimum değerini bulmak için türevini alıp sıfıra eşitleyeceğiz: $f'(x) = \frac{d}{dx} [(x - 2)^2 + (x^2 - 4x + 6)^2]$ $f'(x) = 2(x - 2) \cdot 1 + 2(x^2 - 4x + 6) \cdot (2x - 4)$ $f'(x) = 2(x - 2) + 2(x^2 - 4x + 6) \cdot 2(x - 2)$ $f'(x) = 2(x - 2) [1 + 2(x^2 - 4x + 6)]$ $f'(x) = 2(x - 2) [1 + 2x^2 - 8x + 12]$ $f'(x) = 2(x - 2) [2x^2 - 8x + 13]$
• Türevi sıfıra eşitleyelim: $2(x - 2) (2x^2 - 8x + 13) = 0$ Bu denklemin çözümleri iki durumdan gelir:
  1. $x - 2 = 0 \implies x = 2$
  2. $2x^2 - 8x + 13 = 0$
• İkinci denklemin diskriminantını ($\Delta = b^2 - 4ac$) kontrol edelim: $\Delta = (-8)^2 - 4(2)(13) = 64 - 104 = -40$. Diskriminant negatif olduğu için ($ \Delta < 0 $), $2x^2 - 8x + 13 = 0$ denkleminin reel kökü yoktur. Bu durumda, $2x^2 - 8x + 13$ ifadesi her zaman pozitiftir.
• Dolayısıyla, $f'(x) = 0$ denkleminin tek reel çözümü $x = 2$'dir. Bu, en yakın noktanın x-koordinatıdır. $f'(x)$'in işaretini incelediğimizde, $x < 2$ için $f'(x) < 0$ (azalan) ve $x > 2$ için $f'(x) > 0$ (artan) olduğunu görürüz. Bu da $x=2$'nin bir minimum nokta olduğunu doğrular.
• Şimdi $x=2$ değerini parabol denklemine yazarak y-koordinatını bulalım: $y = (2)^2 - 4(2) + 7$ $y = 4 - 8 + 7$ $y = 3$ Buna göre, parabol üzerinde $A(2, 1)$ noktasına en yakın nokta $P(2, 3)$'tür.
• Son olarak, bu noktanın koordinatları toplamını bulalım: Koordinatlar toplamı $= x + y = 2 + 3 = 5$.

Cevap A seçeneğidir.