Maksimum minimum problemleri Test 2

Bir üretici, birim malı \(50 - 0.1x\) TL'den satabiliyor. Toplam maliyet fonksiyonu \(C(x) = 1000 + 30x\) olduğuna göre, maksimum kâr için kaç birim mal üretilmelidir?

A) 100
B) 150
C) 200
D) 250

Bu problemde amacımız, üreticinin elde edeceği kârı maksimum yapacak üretim miktarını ($x$) bulmaktır. Bunun için öncelikle kâr fonksiyonunu oluşturmalı ve ardından bu fonksiyonun maksimum değerini bulmalıyız.

• 1. Toplam Gelir Fonksiyonunu ($R(x)$) Bulma:

Bir üreticinin elde ettiği toplam gelir, sattığı birim mal sayısı ile birim malın satış fiyatının çarpımıdır. Soruda birim malın satış fiyatı $P(x) = 50 - 0.1x$ TL olarak verilmiştir. $x$ birim mal satıldığında elde edilen toplam gelir ($R(x)$) şu şekilde hesaplanır:

$R(x) = (\text{Birim Satış Fiyatı}) \times (\text{Satılan Miktar})$

$R(x) = (50 - 0.1x) \cdot x$

$R(x) = 50x - 0.1x^2$

• 2. Kâr Fonksiyonunu ($K(x)$) Oluşturma:

Kâr, toplam gelirden toplam maliyetin çıkarılmasıyla bulunur. Toplam maliyet fonksiyonu $C(x) = 1000 + 30x$ olarak verilmiştir. Kâr fonksiyonu ($K(x)$) şu şekildedir:

$K(x) = R(x) - C(x)$

$K(x) = (50x - 0.1x^2) - (1000 + 30x)$

Parantezleri açıp benzer terimleri birleştirelim:

$K(x) = 50x - 0.1x^2 - 1000 - 30x$

$K(x) = -0.1x^2 + (50x - 30x) - 1000$

$K(x) = -0.1x^2 + 20x - 1000$

• 3. Maksimum Kâr İçin Türev Alma:

Bir fonksiyonun maksimum veya minimum değerini bulmak için, o fonksiyonun türevini alıp sıfıra eşitlememiz gerekir. Kâr fonksiyonu $K(x)$'in $x$'e göre türevini alalım:

$K'(x) = \frac{d}{dx}(-0.1x^2 + 20x - 1000)$

$K'(x) = -0.1 \cdot (2x) + 20 - 0$

$K'(x) = -0.2x + 20$

• 4. Türevi Sıfıra Eşitleme ve $x$ Değerini Bulma:

Maksimum kârın elde edildiği $x$ değerini bulmak için $K'(x)$'i sıfıra eşitleriz:

$-0.2x + 20 = 0$

$20 = 0.2x$

$x = \frac{20}{0.2}$

Ondalıklı sayıyı kesre çevirerek veya her iki tarafı 10 ile çarparak işlemi kolaylaştırabiliriz:

$x = \frac{20}{\frac{2}{10}}$

$x = 20 \cdot \frac{10}{2}$

$x = 10 \cdot 10$

$x = 100$

• 5. Sonuç:

Kâr fonksiyonu $K(x) = -0.1x^2 + 20x - 1000$ bir paraboldür ve $x^2$ teriminin katsayısı ($-0.1$) negatif olduğu için parabolün kolları aşağıya doğrudur. Bu da tepe noktasının bir maksimum değer olduğunu gösterir. Dolayısıyla, $x=100$ birim mal üretildiğinde maksimum kâr elde edilir.

Cevap A seçeneğidir.