Maksimum minimum problemleri Test 2

Bir ağaçtaki elmaların sayısı \(P(x) = -x^2 + 20x + 100\) fonksiyonuyla modelleniyor. Burada \(x\) gübre miktarını kg cinsinden göstermektedir. Maksimum elma sayısına ulaşmak için kaç kg gübre kullanılmalıdır?

A) 10
B) 15
C) 20
D) 25

Merhaba sevgili öğrenciler,

Bu problemde, bir ağaçtaki elma sayısını gübre miktarına bağlı olarak modelleyen bir fonksiyon verilmiş ve bizden maksimum elma sayısına ulaşmak için ne kadar gübre kullanılması gerektiğini bulmamız isteniyor. Adım adım bu problemi çözelim:

• Adım 1: Fonksiyonu Anlamak

  Verilen fonksiyon $P(x) = -x^2 + 20x + 100$ şeklindedir. Burada $P(x)$ elma sayısını, $x$ ise gübre miktarını (kg cinsinden) göstermektedir. Bu fonksiyon, ikinci dereceden bir fonksiyondur ve grafiği bir paraboldür. $x^2$ teriminin katsayısı negatif olduğu için (yani $-1$), bu parabol aşağı doğru açılır. Aşağı doğru açılan bir parabolün bir maksimum noktası vardır. İşte bu maksimum nokta, elma sayısının en yüksek olduğu durumu temsil eder.

• Adım 2: Maksimum Noktayı Bulma Yöntemi

  Genel olarak, $f(x) = ax^2 + bx + c$ şeklindeki ikinci dereceden bir fonksiyonun tepe noktasının $x$-koordinatı, yani fonksiyonun maksimum veya minimum değerini aldığı $x$ değeri, aşağıdaki formülle bulunur:

  $x = \frac{-b}{2a}$

  Bizim amacımız, elma sayısını maksimum yapan gübre miktarını ($x$) bulmak olduğu için, bu formülü kullanacağız.

• Adım 3: Fonksiyonun Katsayılarını Belirleme

  Şimdi verilen $P(x) = -x^2 + 20x + 100$ fonksiyonunu genel $ax^2 + bx + c$ formuyla karşılaştıralım:

  • $a$ değeri, $x^2$ teriminin katsayısıdır. Fonksiyonumuzda $-x^2$ olduğu için $a = -1$.
  • $b$ değeri, $x$ teriminin katsayısıdır. Fonksiyonumuzda $+20x$ olduğu için $b = 20$.
  • $c$ değeri, sabit terimdir. Fonksiyonumuzda $+100$ olduğu için $c = 100$.
• Adım 4: Gübre Miktarını Hesaplama

  Şimdi $x = \frac{-b}{2a}$ formülünü kullanarak maksimum elma sayısına ulaşmak için gereken gübre miktarını ($x$) hesaplayalım:

  • $x = \frac{-(20)}{2 \cdot (-1)}$
  • $x = \frac{-20}{-2}$
  • $x = 10$
• Adım 5: Sonucu Yorumlama

  Bulduğumuz $x = 10$ değeri, maksimum elma sayısına ulaşmak için kullanılması gereken gübre miktarını (kg cinsinden) göstermektedir. Yani, 10 kg gübre kullanıldığında ağaçtaki elma sayısı en yüksek seviyeye ulaşacaktır.

• Adım 6: Seçenekleri Kontrol Etme

  Hesapladığımız değer 10'dur. Seçeneklere baktığımızda A seçeneği 10'dur.

Cevap A seçeneğidir.