Bir noktada limit olma şartı Test 2

$f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ fonksiyonu için aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

A) $x = 2$ noktasında limiti yoktur
B) $x = 2$ noktasında limiti 4'tür
C) $x = 2$ noktasında süreklidir
D) $x = 2$ noktasında tanımsızdır ve limiti de yoktur

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bir fonksiyonun belirli bir noktadaki limitini ve sürekliliğini inceleyeceğiz. Adım adım ilerleyerek konuyu daha iyi anlayalım.

• Fonksiyonu İnceleme:

  Bize verilen fonksiyon $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ şeklindedir. Bu bir rasyonel fonksiyondur. Rasyonel fonksiyonlarda, paydanın sıfır olduğu noktalarda fonksiyon tanımsız olur.

• Tanımsızlık Noktasını Belirleme:

  Payda $x - 2$ olduğundan, $x - 2 = 0$ eşitliğini sağlayan $x$ değeri $x = 2$'dir. Bu durumda, $f(2)$ ifadesi tanımsızdır çünkü $\frac{2^2 - 4}{2 - 2} = \frac{0}{0}$ belirsizliği oluşur. Bu bilgi, D seçeneğinin ilk kısmını doğrular.

• Fonksiyonu Sadeleştirme:

  Limit hesaplarken belirsizlik durumlarında fonksiyonu sadeleştirmek çok önemlidir. Pay kısmındaki $x^2 - 4$ ifadesi iki kare farkı özdeşliğidir: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

  Buna göre, $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ şeklinde yazılabilir.

  Şimdi fonksiyonu yeniden yazalım:

  $f(x) = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2}$

  $x \neq 2$ olduğu sürece, pay ve paydadaki $(x - 2)$ terimlerini sadeleştirebiliriz. Limit alırken $x$ değeri $2$'ye yaklaşıyor, ancak tam olarak $2$ olmuyor. Bu yüzden sadeleştirme yapabiliriz.

  Sadeleşmiş hali: $f(x) = x + 2$ (bu sadeleştirme $x \neq 2$ için geçerlidir).

• Limit Hesaplama:

  Şimdi $x = 2$ noktasındaki limiti hesaplayalım:

  $\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$

  Sadeleşmiş fonksiyonu kullanarak limiti bulalım:

  $\lim_{x \to 2} (x + 2)$

  $x$ yerine $2$ koyduğumuzda:

  $2 + 2 = 4$

  Yani, $x = 2$ noktasında fonksiyonun limiti $4$'tür.

• Seçenekleri Değerlendirme:
  • A) $x = 2$ noktasında limiti yoktur: Bu ifade yanlıştır, çünkü limiti $4$ olarak bulduk.
  • B) $x = 2$ noktasında limiti 4'tür: Bu ifade doğrudur, hesaplamalarımızla uyuşmaktadır.
  • C) $x = 2$ noktasında süreklidir: Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olabilmesi için o noktada tanımlı olması, limitinin var olması ve limit değerinin fonksiyon değerine eşit olması gerekir. Bizim fonksiyonumuz $x = 2$ noktasında tanımsız olduğu için sürekli değildir. Bu ifade yanlıştır.
  • D) $x = 2$ noktasında tanımsızdır ve limiti de yoktur: Fonksiyon $x = 2$ noktasında tanımsızdır, bu kısım doğru. Ancak limiti yoktur kısmı yanlıştır, çünkü limiti $4$'tür. Dolayısıyla bu seçenek de yanlıştır.

Tüm bu adımları takip ettiğimizde, doğru ifadenin B seçeneği olduğunu görüyoruz.

Cevap B seçeneğidir.