İki cisim aynı noktadan sırasıyla 20 m/s ve 40 m/s hızlarla düşey yukarı atılıyor. İkinci cismin çıktığı maksimum yüksekliğin birinci cismin çıktığı maksimum yüksekliğe oranı kaçtır?
A) 2Bu soruda, düşey yukarı atılan cisimlerin ulaşabileceği maksimum yükseklikleri karşılaştıracağız. Bir cismin düşey yukarı atıldığında maksimum yüksekliğe ulaşması, o anki anlık hızının sıfır olması demektir. Yer çekimi ivmesi ($g$) cismin hareketine zıt yönde etki eder.
Bir cisim $v_0$ ilk hızıyla düşey yukarı atıldığında, yer çekimi ivmesi ($g$) etkisiyle yavaşlar ve maksimum yüksekliğe ($H$) ulaştığında anlık hızı sıfır olur. Bu durumu açıklayan kinematik denklem şöyledir:
$v^2 = v_0^2 + 2aH$
Burada:
• $v$: Son hız (maksimum yükseklikte $0$ olur)
• $v_0$: İlk hız
• $a$: İvme (düşey yukarı atışta yer çekimi ivmesi aşağı yönlü olduğu için $-g$ olarak alınır)
• $H$: Yükseklik
Denklemde bu değerleri yerine yazarsak:
$0^2 = v_0^2 + 2(-g)H$
$0 = v_0^2 - 2gH$
Buradan maksimum yükseklik ($H$) için formülü elde ederiz:
$H = \frac{v_0^2}{2g}$
Birinci cismin ilk hızı $v_1 = 20 \text{ m/s}$ olarak verilmiştir. Bu durumda, birinci cismin çıkacağı maksimum yükseklik $H_1$ şu şekilde bulunur:
$H_1 = \frac{v_1^2}{2g} = \frac{(20 \text{ m/s})^2}{2g} = \frac{400}{2g}$
İkinci cismin ilk hızı $v_2 = 40 \text{ m/s}$ olarak verilmiştir. Bu durumda, ikinci cismin çıkacağı maksimum yükseklik $H_2$ şu şekilde bulunur:
$H_2 = \frac{v_2^2}{2g} = \frac{(40 \text{ m/s})^2}{2g} = \frac{1600}{2g}$
Şimdi bizden istenen, ikinci cismin çıktığı maksimum yüksekliğin birinci cismin çıktığı maksimum yüksekliğe oranıdır, yani $\frac{H_2}{H_1}$ oranını bulmalıyız:
$\frac{H_2}{H_1} = \frac{\frac{1600}{2g}}{\frac{400}{2g}}$
Bu ifadede $2g$ terimleri sadeleşir:
$\frac{H_2}{H_1} = \frac{1600}{400}$
$\frac{H_2}{H_1} = 4$
Gördüğümüz gibi, maksimum yükseklik ilk hızın karesiyle doğru orantılıdır ($H \propto v_0^2$). İkinci cismin hızı birinci cismin hızının 2 katı ($40/20 = 2$) olduğu için, çıkacağı maksimum yükseklik $2^2 = 4$ katı olacaktır.
Cevap C seçeneğidir.
