Onluk logaritma (Bayağı logaritma) nedir (log) Test 2

Bir bakteri populasyonu her saat başı 10 katına çıkmaktadır. Başlangıçta 100 bakteri olduğuna göre, kaç saat sonra bakteri sayısı 1.000.000 olur?

A) 3
B) 4
C) 5
D) 6

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu problem, bakteri popülasyonlarının zamanla nasıl büyüdüğünü anlamamızı sağlayan temel bir üstel büyüme sorusudur. Adım adım çözerek bu tür soruları nasıl ele alacağımızı öğrenelim.

• Adım 1: Başlangıç Durumu ve Büyüme Kuralını Anlayalım
  • Başlangıçta elimizde 100 bakteri bulunmaktadır.
  • Her saat başı bakteri sayısı 10 katına çıkmaktadır. Bu, her saat sonunda mevcut bakteri sayısını 10 ile çarpacağımız anlamına gelir.
  • Hedefimiz, bakteri sayısının 1.000.000 olması için kaç saat geçmesi gerektiğini bulmaktır.
• Adım 2: Saati Saati Takip Ederek Bakteri Sayısını Hesaplayalım
  • 0. saat (Başlangıç): 100 bakteri
  • 1. saat sonunda: Başlangıçtaki bakteri sayısı $100 \times 10 = 1.000$ bakteri olur.
  • 2. saat sonunda: Önceki saatteki bakteri sayısı $1.000 \times 10 = 10.000$ bakteri olur. (Bu aynı zamanda $100 \times 10^2$ olarak da yazılabilir.)
  • 3. saat sonunda: Önceki saatteki bakteri sayısı $10.000 \times 10 = 100.000$ bakteri olur. (Bu aynı zamanda $100 \times 10^3$ olarak da yazılabilir.)
  • 4. saat sonunda: Önceki saatteki bakteri sayısı $100.000 \times 10 = 1.000.000$ bakteri olur. (Bu aynı zamanda $100 \times 10^4$ olarak da yazılabilir.)
• Adım 3: Matematiksel Denklemi Kuralım ve Çözelim
  • Bakteri popülasyonunun büyümesini genel bir formülle ifade edebiliriz:

    Başlangıç Bakteri Sayısı $\times (\text{Büyüme Oranı})^{\text{Geçen Saat Sayısı}} = \text{Son Bakteri Sayısı}

  • Bu durumda, denklemimiz şöyle olur:

    $100 \times 10^n = 1.000.000$

    Burada $n$, geçen saat sayısını temsil etmektedir.
  • Şimdi $n$ değerini bulmak için denklemi çözelim. Öncelikle her iki tarafı 100'e bölelim:

    $10^n = \frac{1.000.000}{100}$

    $10^n = 10.000$

  • Şimdi $10.000$ sayısını 10'un kuvveti olarak yazalım. $10.000$ sayısı, 10'un kendisiyle 4 kez çarpılmasıyla elde edilir ($10 \times 10 \times 10 \times 10$). Yani:

    $10.000 = 10^4$

  • Denklemimiz şu hale gelir:

    $10^n = 10^4$

  • Eşitliğin her iki tarafındaki tabanlar (10) aynı olduğu için, üsler de eşit olmalıdır. Bu durumda:

    $n = 4$

• Adım 4: Sonucu Değerlendirelim
  • Yaptığımız hesaplamalar ve kurduğumuz denklem sonucunda, bakteri sayısının 1.000.000'a ulaşması için 4 saat geçmesi gerektiğini bulduk.

Cevap B seçeneğidir.