10. \( x = \sqrt{80} \), \( y = \sqrt{125} \), \( z = \sqrt{45} \) olduğuna göre \( x + y - z \) işleminin sonucu kaçtır?
A) \( 6\sqrt{5} \)
B) \( 7\sqrt{5} \)
C) \( 8\sqrt{5} \)
D) \( 9\sqrt{5} \)
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, kareköklü ifadelerle toplama ve çıkarma işlemi yapacağız. Kareköklü ifadeleri toplayıp çıkarabilmek için öncelikle kök içlerinin aynı olması gerektiğini unutmayalım. Bu yüzden ilk adımımız, verilen köklü ifadeleri en sade hallerine getirmek olacak.
- Adım 1: Verilen Kareköklü İfadeleri Sadeleştirme
- Her bir kareköklü ifadeyi, kök dışına çıkarılabilecek en büyük tam kare çarpanını bularak sadeleştirelim.
- $x = \sqrt{80}$: $80$ sayısını bir tam kare sayı ile başka bir sayının çarpımı şeklinde yazalım. $80 = 16 \times 5$.
- Buna göre, $x = \sqrt{16 \times 5} = \sqrt{16} \times \sqrt{5} = 4\sqrt{5}$.
- $y = \sqrt{125}$: $125$ sayısını bir tam kare sayı ile başka bir sayının çarpımı şeklinde yazalım. $125 = 25 \times 5$.
- Buna göre, $y = \sqrt{25 \times 5} = \sqrt{25} \times \sqrt{5} = 5\sqrt{5}$.
- $z = \sqrt{45}$: $45$ sayısını bir tam kare sayı ile başka bir sayının çarpımı şeklinde yazalım. $45 = 9 \times 5$.
- Buna göre, $z = \sqrt{9 \times 5} = \sqrt{9} \times \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$.
- Adım 2: Sadeleştirilmiş İfadeleri İşlemde Yerine Yazma
- Şimdi sadeleştirdiğimiz $x$, $y$ ve $z$ değerlerini bizden istenen $x + y - z$ ifadesinde yerine yazalım.
- $x + y - z = 4\sqrt{5} + 5\sqrt{5} - 3\sqrt{5}$.
- Adım 3: İşlemi Yapma
- Kök içleri aynı olduğu için (hepsi $\sqrt{5}$), bu ifadelerin katsayılarını toplayıp çıkarabiliriz.
- $4\sqrt{5} + 5\sqrt{5} - 3\sqrt{5} = (4 + 5 - 3)\sqrt{5}$.
- Önce toplama işlemini yapalım: $4 + 5 = 9$.
- Şimdi çıkarma işlemini yapalım: $9 - 3 = 6$.
- Sonuç olarak, işlemin değeri $6\sqrt{5}$ olur.
Bu sonuç, seçeneklerde A şıkkında yer almaktadır.
Cevap C seçeneğidir.
