Yatay düzlemde sabitlenmiş +4q ve -q yükleri arasındaki uzaklık 3d'dir. +q yükünü sonsuzdan, bu iki yükün oluşturduğu sistemde elektriksel potansiyelin sıfır olduğu bir noktaya getirmek için yapılması gereken iş nedir?
A) \(\frac{kq^2}{d}\)
B) \(\frac{2kq^2}{d}\)
C) 0
D) \(-\frac{kq^2}{d}\)
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu problemde, iki sabit yükün oluşturduğu bir sistemde, üçüncü bir yükü sonsuzdan elektriksel potansiyelin sıfır olduğu bir noktaya getirmek için yapılması gereken işi bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
-
1. Elektriksel Potansiyel ve İş Kavramlarını Hatırlayalım:
- Bir noktasal $Q$ yükünün kendisinden $r$ uzaklıktaki bir noktada oluşturduğu elektriksel potansiyel $V = \frac{kQ}{r}$ formülü ile bulunur. Burada $k$ Coulomb sabitidir.
- Birden fazla yükün bir noktada oluşturduğu toplam elektriksel potansiyel, her bir yükün o noktada oluşturduğu potansiyellerin cebirsel toplamıdır (süperpozisyon ilkesi). Yani $V_{toplam} = V_1 + V_2 + ...$
- Bir $q$ yükünü sonsuzdan, elektriksel potansiyeli $V$ olan bir noktaya getirmek için yapılması gereken iş $W = q \cdot V$ formülü ile hesaplanır. Sonsuzdaki potansiyel sıfır kabul edilir ($V_{\infty} = 0$).
-
2. Elektriksel Potansiyelin Sıfır Olduğu Noktaları Bulalım:
- Soruda verilen sabit yükler $+4q$ ve $-q$ arasındaki uzaklık $3d$'dir. Bu yükleri yatay bir eksen üzerine yerleştirelim. Örneğin, $+4q$ yükünü $x=0$ noktasına, $-q$ yükünü ise $x=3d$ noktasına yerleştirelim.
- Potansiyelin sıfır olduğu bir $P$ noktasının koordinatı $x$ olsun. Bu noktadaki toplam potansiyel $V_P = V_{+4q} + V_{-q}$ olmalıdır.
- $V_P = \frac{k(+4q)}{|x|} + \frac{k(-q)}{|x-3d|} = 0$ olmasını istiyoruz.
- Bu denklemi düzenlersek: $\frac{4q}{|x|} = \frac{q}{|x-3d|} \implies \frac{4}{|x|} = \frac{1}{|x-3d|}$.
- Bu denklemin çözümü için farklı bölgeleri incelememiz gerekir:
- Bölge 1: $x < 0$ (yani $+4q$ yükünün solunda)
- $|x| = -x$ ve $|x-3d| = -(x-3d) = 3d-x$
- $\frac{4}{-x} = \frac{1}{3d-x} \implies 4(3d-x) = -x \implies 12d - 4x = -x \implies 12d = 3x \implies x = 4d$.
- Bu sonuç, $x < 0$ varsayımıyla çeliştiği için bu bölgede potansiyelin sıfır olduğu bir nokta yoktur.
- Bölge 2: $0 < x < 3d$ (yani iki yük arasında)
- $|x| = x$ ve $|x-3d| = -(x-3d) = 3d-x$
- $\frac{4}{x} = \frac{1}{3d-x} \implies 4(3d-x) = x \implies 12d - 4x = x \implies 12d = 5x \implies x = \frac{12d}{5}$.
- Bu sonuç ($x = 2.4d$), $0 < x < 3d$ aralığında olduğu için potansiyelin sıfır olduğu bir noktadır.
- Bölge 3: $x > 3d$ (yani $-q$ yükünün sağında)
- $|x| = x$ ve $|x-3d| = x-3d$
- $\frac{4}{x} = \frac{1}{x-3d} \implies 4(x-3d) = x \implies 4x - 12d = x \implies 3x = 12d \implies x = 4d$.
- Bu sonuç ($x = 4d$), $x > 3d$ aralığında olduğu için potansiyelin sıfır olduğu başka bir noktadır.
- Gördüğümüz gibi, bu iki sabit yükün oluşturduğu sistemde elektriksel potansiyelin sıfır olduğu birden fazla nokta bulunmaktadır ($x = \frac{12d}{5}$ ve $x = 4d$). Soruda "bir noktaya" denildiği için, bu noktalardan herhangi birini seçebiliriz. Önemli olan, bu noktalardaki toplam elektriksel potansiyelin sıfır olmasıdır.
-
3. Yapılması Gereken İşi Hesaplayalım:
- Soruda $+q$ yükünü sonsuzdan, elektriksel potansiyelin sıfır olduğu bir noktaya getirmemiz isteniyor.
- Bu noktadaki elektriksel potansiyel $V_{nokta} = 0$'dır.
- Yapılması gereken iş formülü $W = q_{taşınan} \cdot (V_{nokta} - V_{\infty})$ idi.
- Burada taşınan yük $q_{taşınan} = +q$, varış noktasındaki potansiyel $V_{nokta} = 0$ ve sonsuzdaki potansiyel $V_{\infty} = 0$'dır.
- Bu değerleri formülde yerine koyarsak: $W = (+q) \cdot (0 - 0) = (+q) \cdot 0 = 0$.
- Yani, elektriksel potansiyelin sıfır olduğu bir noktaya bir yükü sonsuzdan getirmek için elektriksel kuvvetlere karşı veya elektriksel kuvvetler tarafından yapılan net iş sıfırdır.
Bu durumda, yapılması gereken iş $0$'dır.
Cevap C seçeneğidir.
