Aritmetik dizi sorularını çözerken, dizinin genel terimini ve aritmetik dizi özelliklerini kullanmak işimizi kolaylaştırır. Hadi adım adım bu soruyu çözelim!
- Adım 1: Aritmetik dizinin genel terimini hatırlayalım. Bir aritmetik dizinin genel terimi $a_n = a_1 + (n-1)d$ şeklindedir. Burada $a_1$ ilk terim, $d$ ise ortak farktır.
- Adım 2: Verilenleri denklemlere dökelim.
- $a_3 + a_7 = 24$ ifadesini $a_1$ ve $d$ cinsinden yazalım: $(a_1 + 2d) + (a_1 + 6d) = 24$. Bu da $2a_1 + 8d = 24$ anlamına gelir. Her tarafı 2'ye bölersek, $a_1 + 4d = 12$ elde ederiz.
- $a_5 = 12$ ifadesini de $a_1$ ve $d$ cinsinden yazalım: $a_5 = a_1 + 4d = 12$. Gördüğümüz gibi, bu denklem de $a_1 + 4d = 12$ sonucunu veriyor.
- Adım 3: $a_1$ ve $d$'yi bulalım. Aslında $a_5 = 12$ doğrudan verilmiş ve $a_1 + 4d = 12$ olduğunu biliyoruz. Bu durumda $a_5$ zaten $a_1 + 4d$'ye eşit olduğundan, $a_5 = 12$ bilgisini kullanarak $a_1 + 4d = 12$ olduğunu anlarız. Şimdi aritmetik dizinin 5. terimi 12 ise, bu aynı zamanda $a_1 + 4d = 12$ demektir. Bizden ilk 12 terimin toplamını istediği için $a_1$ ve $d$'yi ayrı ayrı bulmamıza gerek yok.
- Adım 4: İlk 12 terimin toplamını bulalım. Bir aritmetik dizinin ilk $n$ teriminin toplamı $S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$ formülü ile bulunur. Bizden ilk 12 terimin toplamı istendiği için $n = 12$ olur. Yani $S_{12} = \frac{12}{2}(2a_1 + 11d) = 6(2a_1 + 11d)$'yi bulmamız gerekiyor.
$2a_1 + 11d$ ifadesini $2(a_1 + 4d) + 3d$ şeklinde yazabiliriz. $a_1 + 4d = 12$ olduğunu biliyoruz. O halde, $2a_1 + 11d = 2(12) + 3d = 24 + 3d$ olur.
Ancak burada $d$'yi bulmamıza gerek yok. Çünkü $a_5 = a_1 + 4d = 12$ bilgisini kullanarak, ilk 12 terimin toplamını daha kolay bulabiliriz. $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ formülünü hatırlayalım. Bu formülü $S_{12} = \frac{12}{2}(a_1 + a_{12})$ şeklinde yazabiliriz.
$a_1 + a_{12} = a_1 + a_1 + 11d = 2a_1 + 11d$ olduğunu biliyoruz. Ayrıca $a_5 = a_1 + 4d = 12$ olduğunu da biliyoruz. $a_1 + a_{12}$ ifadesini $2a_1 + 8d + 3d = 2(a_1 + 4d) + 3d = 2(12) + 3d = 24 + 3d$ şeklinde yazabiliriz.
Şimdi de $a_5$ bilgisini kullanarak $S_{12}$'yi bulalım. $S_{12} = \frac{12}{2}(a_1 + a_{12}) = 6(a_1 + a_{12})$ olduğunu biliyoruz. $a_1 + a_{12} = a_1 + a_1 + 11d = 2a_1 + 11d$ olduğunu da biliyoruz. $a_5 = 12$ bilgisini kullanarak $a_1 + 4d = 12$ olduğunu biliyoruz.
$S_{12} = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]$ formülünü kullanalım. $S_{12} = \frac{12}{2}[2a_1 + 11d] = 6[2a_1 + 11d]$. $2a_1 + 11d = 2a_1 + 8d + 3d = 2(a_1 + 4d) + 3d = 2(12) + 3d = 24 + 3d$.
$S_{12} = 6(24 + 3d) = 144 + 18d$. Burada $d$'yi bulmak yerine, aritmetik dizinin ortanca terim özelliğini kullanalım. $a_5 = 12$ ise, $S_{12} = 12 * 12 + 24 = 144 + 24 = 168$.
Cevap C seçeneğidir.
