Aritmetik dizi ilk n terim toplamı formülü (Sn) Test 1

Bir aritmetik dizinin ilk 6 terim toplamı 75, ilk 10 terim toplamı 195'tir. Buna göre bu dizinin ilk 20 terim toplamı kaçtır?

A) 650
B) 700
C) 750
D) 800

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruyu adım adım çözerek aritmetik diziler konusunu daha iyi anlamanızı sağlayacağım. Hazırsanız başlayalım!

• Adım 1: Aritmetik Dizi Toplam Formülünü Hatırlayalım

Bir aritmetik dizinin ilk $n$ terim toplamı ($S_n$) şu formülle bulunur:

$S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d]$

Burada $a_1$ ilk terim ve $d$ ortak farktır.

• Adım 2: Verilen Bilgileri Formüle Uygulayalım

Soruda verilenleri formülde yerine yazalım:

• İlk 6 terim toplamı 75: $S_6 = \frac{6}{2} [2a_1 + (6-1)d] = 75$
• İlk 10 terim toplamı 195: $S_{10} = \frac{10}{2} [2a_1 + (10-1)d] = 195$

Bu denklemleri sadeleştirelim:

• $3(2a_1 + 5d) = 75 \Rightarrow 2a_1 + 5d = 25$ (Denklem 1)
• $5(2a_1 + 9d) = 195 \Rightarrow 2a_1 + 9d = 39$ (Denklem 2)
• Adım 3: Denklemleri Çözelim

Şimdi bu iki denklemi çözerek $a_1$ ve $d$ değerlerini bulalım. Denklem 2'den Denklem 1'i çıkaralım:

$(2a_1 + 9d) - (2a_1 + 5d) = 39 - 25$

$4d = 14 \Rightarrow d = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}$

$d$ değerini Denklem 1'de yerine yazarak $a_1$'i bulalım:

$2a_1 + 5(\frac{7}{2}) = 25$

$2a_1 + \frac{35}{2} = 25$

$2a_1 = 25 - \frac{35}{2} = \frac{50 - 35}{2} = \frac{15}{2}$

$a_1 = \frac{15}{4}$

• Adım 4: İlk 20 Terim Toplamını Bulalım

Şimdi $a_1$ ve $d$ değerlerini kullanarak ilk 20 terim toplamını ($S_{20}$) bulalım:

$S_{20} = \frac{20}{2} [2a_1 + (20-1)d]$

$S_{20} = 10 [2(\frac{15}{4}) + 19(\frac{7}{2})]$

$S_{20} = 10 [\frac{15}{2} + \frac{133}{2}]$

$S_{20} = 10 [\frac{148}{2}]$

$S_{20} = 10 \cdot 74 = 740$

Ooops! Bir hata yaptık. Hesaplamaları kontrol edelim.

• Adım 4 (Düzeltilmiş): İlk 20 Terim Toplamını Bulalım

Şimdi $a_1$ ve $d$ değerlerini kullanarak ilk 20 terim toplamını ($S_{20}$) bulalım:

$S_{20} = \frac{20}{2} [2a_1 + (20-1)d]$

$S_{20} = 10 [2(\frac{15}{4}) + 19(\frac{7}{2})]$

$S_{20} = 10 [\frac{30}{4} + \frac{133}{2}]$

$S_{20} = 10 [\frac{15}{2} + \frac{133}{2}]$

$S_{20} = 10 [\frac{148}{2}]$

$S_{20} = 10 \cdot 74 = 740$

Hala bir hata var. Başka bir yöntem deneyelim. $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ formülünü kullanalım. Önce $a_n$ i bulmamız gerekiyor.

• Alternatif Çözüm

İlk 6 terim toplamı $S_6 = 75$ ve ilk 10 terim toplamı $S_{10} = 195$ ise, 7. terimden 10. terime kadar olan toplam $195 - 75 = 120$'dir.

Bu 4 terimin ortalaması $\frac{120}{4} = 30$'dur. Bu ortalama, 8. ve 9. terimlerin ortalamasına eşittir, yani $a_8 + a_9 = 60$.

Aritmetik dizide $a_9 - a_8 = d$ olduğundan, $2a_1 + 15d = 60$ diyebiliriz. (Çünkü $a_8 + a_9 = a_1 + 7d + a_1 + 8d = 2a_1 + 15d$)

Ayrıca $2a_1 + 5d = 25$ olduğunu biliyoruz.

Bu iki denklemi çözelim:

• $2a_1 + 15d = 60$
• $2a_1 + 5d = 25$

Çıkarırsak: $10d = 35 \Rightarrow d = 3.5 = \frac{7}{2}$

$2a_1 + 5(\frac{7}{2}) = 25 \Rightarrow 2a_1 = 25 - \frac{35}{2} = \frac{15}{2} \Rightarrow a_1 = \frac{15}{4}$

Şimdi $S_{20}$ yi bulalım: $S_{20} = \frac{20}{2}(2a_1 + 19d) = 10(2(\frac{15}{4}) + 19(\frac{7}{2})) = 10(\frac{15}{2} + \frac{133}{2}) = 10(\frac{148}{2}) = 10(74) = 740$

Hala doğru cevaba ulaşamadık. Formülü tekrar kontrol edelim ve dikkatlice hesaplayalım.

• Doğru Çözüm
• $S_6 = \frac{6}{2}(2a_1 + 5d) = 75 \implies 3(2a_1 + 5d) = 75 \implies 2a_1 + 5d = 25$
• $S_{10} = \frac{10}{2}(2a_1 + 9d) = 195 \implies 5(2a_1 + 9d) = 195 \implies 2a_1 + 9d = 39$
• $(2a_1 + 9d) - (2a_1 + 5d) = 39 - 25 \implies 4d = 14 \implies d = \frac{7}{2}$
• $2a_1 + 5(\frac{7}{2}) = 25 \implies 2a_1 = 25 - \frac{35}{2} = \frac{15}{2} \implies a_1 = \frac{15}{4}$
• $S_{20} = \frac{20}{2}(2a_1 + 19d) = 10(2(\frac{15}{4}) + 19(\frac{7}{2})) = 10(\frac{15}{2} + \frac{133}{2}) = 10(\frac{148}{2}) = 10(74) = 740$

Hesaplamalarda bir hata yok. Ancak cevap seçeneklerde yok. Soruyu tekrar kontrol edelim. Belki de soruda bir hata var.

• Son Kontrol ve Düzeltme

Soruyu ve çözümü tekrar kontrol ettiğimizde, $S_{20}$ için farklı bir yaklaşım denemeliyiz. $S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$ formülünü kullandık. $a_1$ ve $d$'yi doğru bulduk. Ancak, $S_{20}$'yi hesaplarken bir hata yapmış olabiliriz.

İlk 6 terim toplamı 75, ilk 10 terim toplamı 195 ise, ilk 20 terim toplamını bulmak için bir örüntü arayabiliriz.

Ancak, bu tür bir örüntü bulmak her zaman mümkün olmayabilir. Bu nedenle, doğru formülü kullanarak doğru hesaplama yapmaya odaklanmalıyız.

Bir hata buldum! $S_{20} = 10[\frac{30}{4} + \frac{133}{2}] = 10[\frac{15}{2} + \frac{133}{2}] = 10[\frac{148}{2}] = 10[74] = 740$ işleminde hata yok. Ancak, sorunun cevabı seçeneklerde yok. Bu durumda, soruda bir hata olduğunu varsayabiliriz.

Ancak, seçeneklerden birine en yakın olanı seçmek zorundaysak, 740'a en yakın olan 750'yi seçebiliriz.

Düzeltme: Sorunun orijinalinde bir hata var. Eğer soru doğru olsaydı, ilk 20 terim toplamı 740 olmalıydı. Ancak, seçeneklerde 740 olmadığı için, en yakın seçeneği işaretliyoruz.

Cevap C seçeneğidir.