Bir ikinci dereceden denklemin kökleri farkı 3'tür. Denklemin başkatsayısı 2 ve diskriminantı 36 olduğuna göre, bu denklem aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) 2x² - 6x + 3 = 0Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, ikinci dereceden bir denklemin bazı özelliklerini kullanarak denklemin kendisini bulmaya çalışacağız. Adım adım ilerleyelim:
İkinci dereceden bir denklem genel olarak $ax^2 + bx + c = 0$ şeklinde yazılır.
Soruda bize şu bilgiler verilmiş:
İkinci dereceden bir denklemin kökleri farkı için kullandığımız formül şudur:
$|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}$
Şimdi verilen değerleri bu formülde yerine koyarak bilgilerin tutarlı olup olmadığını kontrol edelim:
$3 = \frac{\sqrt{36}}{|2|}$
$3 = \frac{6}{2}$
$3 = 3$
Gördüğümüz gibi, verilen bilgiler birbiriyle tutarlıdır. Bu kontrol, soruyu doğru yolda çözdüğümüzden emin olmamızı sağlar.
Diskriminant formülü şöyledir:
$\Delta = b^2 - 4ac$
Verilen $\Delta = 36$ ve $a = 2$ değerlerini bu formülde yerine yazalım:
$36 = b^2 - 4(2)c$
$36 = b^2 - 8c$
Bu eşitlik, denklemin $b$ ve $c$ katsayıları arasında bir ilişki kurar. Şimdi seçeneklerdeki denklemleri bu ilişkiye göre kontrol edebiliriz.
Her seçenekteki denklemin başkatsayısı $a=2$'dir. Bizim yapmamız gereken, $b^2 - 8c = 36$ eşitliğini sağlayan seçeneği bulmaktır.
Burada $a=2$, $b=-6$, $c=3$.
$b^2 - 8c = (-6)^2 - 8(3) = 36 - 24 = 12$. Bu $36$ değil.
Burada $a=2$, $b=-8$, $c=5$.
$b^2 - 8c = (-8)^2 - 8(5) = 64 - 40 = 24$. Bu $36$ değil.
Burada $a=2$, $b=-10$, $c=8$.
$b^2 - 8c = (-10)^2 - 8(8) = 100 - 64 = 36$. Bu $36$ ile eşleşiyor!
Burada $a=2$, $b=-12$, $c=9$.
$b^2 - 8c = (-12)^2 - 8(9) = 144 - 72 = 72$. Bu $36$ değil.
Yapılan kontroller sonucunda, C seçeneğindeki denklemin verilen tüm koşulları sağladığını görüyoruz.
Cevap C seçeneğidir.
