Kökler farkı formülü |x₁ - x₂| = √Δ / |a| Test 2

2x² - 8x + 6 = 0 denkleminin kökleri arasındaki fark kaçtır?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bize verilen ikinci dereceden bir denklemin kökleri arasındaki farkı bulmamız isteniyor. Bu tür soruları çözmek için iki temel yöntem kullanabiliriz: ya kökleri tek tek bulup farklarını alırız ya da kökler arasındaki farkı doğrudan veren bir formülü kullanırız. Biz, daha pratik ve genel bir yöntem olan formül kullanma yolunu tercih edeceğiz.

• Adım 1: Denklemi Tanıma ve Katsayıları Belirleme

  Öncelikle bize verilen denklemi genel ikinci dereceden denklem formu olan $ax^2 + bx + c = 0$ ile karşılaştıralım.

  Verilen denklem: $2x^2 - 8x + 6 = 0$

  Bu denkleme göre katsayılarımız şunlardır:

  • $a = 2$
  • $b = -8$
  • $c = 6$

• Adım 2: Kökler Arasındaki Fark Formülünü Hatırlama

  Bir $ax^2 + bx + c = 0$ denkleminin kökleri $x_1$ ve $x_2$ olsun. Bu kökler arasındaki farkın mutlak değeri (yani pozitif değeri) şu formülle bulunur:

  $|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}$

  Burada $\Delta$ (delta) diskriminanttır ve $\Delta = b^2 - 4ac$ formülüyle hesaplanır. Diskriminant, denklemin kaç farklı reel kökü olduğunu belirlememize yardımcı olan önemli bir değerdir.

• Adım 3: Diskriminantı ($\Delta$) Hesaplama

  Şimdi katsayılarımızı kullanarak diskriminantı hesaplayalım:

  $\Delta = b^2 - 4ac$

  $\Delta = (-8)^2 - 4(2)(6)$

  $\Delta = 64 - 48$

  $\Delta = 16$

• Adım 4: Kökler Arasındaki Farkı Hesaplama

  Bulduğumuz $\Delta$ değerini ve $a$ katsayısını kökler arasındaki fark formülünde yerine yazalım:

  $|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}$

  $|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{16}}{|2|}$

  $|x_1 - x_2| = \frac{4}{2}$

  $|x_1 - x_2| = 2$

• Adım 5 (Alternatif Yöntem: Kökleri Bularak Doğrulama)

  Bu adımı sadece bir doğrulama veya farklı bir çözüm yolu olarak düşünebiliriz. Denklemi sadeleştirerek kökleri bulalım:

  $2x^2 - 8x + 6 = 0$ (Her tarafı 2'ye bölelim)

  $x^2 - 4x + 3 = 0$

  Bu denklemi çarpanlara ayırabiliriz. Çarpımları 3, toplamları -4 olan iki sayı -1 ve -3'tür.

  $(x - 1)(x - 3) = 0$

  Buradan kökler:

  • $x_1 = 1$
  • $x_2 = 3$

  Kökler arasındaki farkın mutlak değeri:

  $|x_2 - x_1| = |3 - 1| = 2$

  Gördüğünüz gibi her iki yöntem de aynı sonucu verdi. Bu da çözümümüzün doğru olduğunu gösterir.

Denklemin kökleri arasındaki fark $2$'dir.

Cevap B seçeneğidir.