Kökler farkı formülü |x₁ - x₂| = √Δ / |a| Test 2

3x² - 12x + k = 0 denkleminin kökleri arasındaki fark 2 olduğuna göre, k kaçtır?

A) 8
B) 10
C) 12
D) 14

Bu soruda, bir ikinci dereceden denklemin kökleri arasındaki farkı kullanarak bilinmeyen bir katsayıyı bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Denklemi ve Katsayıları Belirleme:

  Verilen ikinci dereceden denklem $3x^2 - 12x + k = 0$ şeklindedir. Bu denklemin genel formu $ax^2 + bx + c = 0$ olduğundan, katsayılarımız $a = 3$, $b = -12$ ve $c = k$ olarak belirlenir.

• 2. Kökler Toplamı Formülünü Kullanma:

  Bir ikinci dereceden denklemin kökleri $x_1$ ve $x_2$ ise, kökler toplamı formülü $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ şeklindedir.

  Bu formülü kullanarak kökler toplamını bulalım:

  $x_1 + x_2 = -\frac{-12}{3} = \frac{12}{3} = 4$

  Yani, $x_1 + x_2 = 4$ (Denklem 1)

• 3. Kökler Farkı Bilgisini Kullanma:

  Soruda kökler arasındaki farkın 2 olduğu belirtilmiştir. Bu durumu mutlak değer içinde ifade ederiz:

  $|x_1 - x_2| = 2$

  Her iki tarafın karesini alarak mutlak değerden kurtulabiliriz:

  $(x_1 - x_2)^2 = 2^2 = 4$ (Denklem 2)

• 4. Kökler Toplamı ve Farkı Arasındaki İlişkiyi Kullanma:

  Kökler toplamı ve farkı arasında bilinen bir özdeşlik vardır:

  $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$

  Bu özdeşliği kullanarak $k$ değerini bulabiliriz. Öncelikle $x_1x_2$ ifadesini $c/a$ formülüyle yazalım:

  $x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{k}{3}$

• 5. Değerleri Özdeşlikte Yerine Koyma ve $k$ Değerini Bulma:

  Şimdi bulduğumuz değerleri özdeşlikte yerine koyalım:

  $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$

  $4 = (4)^2 - 4 \left(\frac{k}{3}\right)$

  $4 = 16 - \frac{4k}{3}$

  Şimdi $k$ değerini yalnız bırakmak için denklemi çözelim:

  $\frac{4k}{3} = 16 - 4$

  $\frac{4k}{3} = 12$

  $4k = 12 \cdot 3$

  $4k = 36$

  $k = \frac{36}{4}$

  $k = 9$

Bu adımları takip ettiğimizde $k$ değerini $9$ olarak buluruz.

Cevap B seçeneğidir.