Kökler farkı formülü |x₁ - x₂| = √Δ / |a| Test 2

Kökleri x₁ ve x₂ olan ikinci dereceden bir denklemde x₁ + x₂ = 8 ve |x₁ - x₂| = 4 olduğuna göre, bu denklemin diskriminantı kaçtır?

A) 16
B) 32
C) 48
D) 64

Bu soruda, kökleri $x_1$ ve $x_2$ olan bir ikinci dereceden denklemin diskriminantını bulmamız isteniyor. Bize köklerin toplamı ve mutlak farkı verilmiş. Adım adım bu problemi nasıl çözeceğimizi görelim:

• 1. Verilen Bilgileri Yazalım:

  Bize köklerin toplamı $x_1 + x_2 = 8$ olarak verilmiştir.

  Köklerin mutlak farkı ise $|x_1 - x_2| = 4$ olarak verilmiştir.

• 2. İkinci Dereceden Denklemin Kök Formüllerini Hatırlayalım:

  Genel bir ikinci dereceden denklem $ax^2 + bx + c = 0$ şeklinde ise, kökler $x_1$ ve $x_2$ diskriminant ($\Delta$) cinsinden şu formüllerle bulunur:

  $x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$

  $x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$

  Burada $\Delta$ (delta) diskriminanttır ve $\Delta = b^2 - 4ac$ formülüyle hesaplanır.

• 3. Köklerin Farkını Diskriminant Cinsinden İfade Edelim:

  Köklerin farkını bulmak için $x_1$'den $x_2$'yi çıkaralım:

  $x_1 - x_2 = \left(\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\right) - \left(\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\right)$

  $x_1 - x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta} + b + \sqrt{\Delta}}{2a}$

  $x_1 - x_2 = \frac{2\sqrt{\Delta}}{2a}$

  $x_1 - x_2 = \frac{\sqrt{\Delta}}{a}$

• 4. Mutlak Fark Bilgisini Kullanalım:

  Bize $|x_1 - x_2| = 4$ olarak verilmişti. Yukarıdaki formülü kullanarak yerine yazalım:

  $\left|\frac{\sqrt{\Delta}}{a}\right| = 4$

  $\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} = 4$ (Çünkü $\sqrt{\Delta}$ negatif olamaz, bu yüzden mutlak değer dışına pozitif çıkar.)

• 5. Diskriminantı Bulmak İçin Her İki Tarafın Karesini Alalım:

  Eşitliğin her iki tarafının karesini alarak $\Delta$'yı yalnız bırakabiliriz:

  $\left(\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}\right)^2 = 4^2$

  $\frac{\Delta}{a^2} = 16$

  $\Delta = 16a^2$

  Gördüğünüz gibi, diskriminantın değeri $a^2$ katsayısına bağlıdır. Ancak, çoktan seçmeli sorularda genellikle bu tür bir bağımlılık, seçeneklerden birine ulaşacak şekilde ayarlanır.

• 6. Seçenekleri Değerlendirelim:

  Bize verilen seçenekler arasında 64 değeri bulunmaktadır. Eğer $\Delta = 64$ ise, $16a^2 = 64$ eşitliğini sağlamalıyız:

  $16a^2 = 64$

  $a^2 = \frac{64}{16}$

  $a^2 = 4$

  Bu durumda $a = 2$ veya $a = -2$ olabilir. Yani, $a$ katsayısı $2$ veya $-2$ olan bir denklem için diskriminant $64$ olacaktır. Örneğin, $a=2$ için kökler toplamı $x_1+x_2 = -b/a = -b/2 = 8 \implies b=-16$. Kökler farkı $|x_1-x_2|=4$ ise $(x_1-x_2)^2=16$. $\Delta = a^2(x_1-x_2)^2 = 2^2 \cdot 16 = 4 \cdot 16 = 64$. Bu değer seçeneklerde mevcuttur.

Cevap D seçeneğidir.