Bir firmanın kar-zarar durumu \( P(x) = -x^2 + 10x - 16 \) denklemi ile modellenmiştir, burada x bin adet ürün sayısını, P(x) ise karı (bin TL) göstermektedir. Grafik çizilerek firmanın kar elde ettiği ürün aralığı belirlenmek isteniyor. Buna göre firma hangi x değerleri aralığında kar elde eder?
A) 2 < x < 8Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün, bir firmanın kar-zarar durumunu modelleyen bir fonksiyonu inceleyerek, firmanın ne zaman kar elde ettiğini bulacağız. Bu tür problemler, gerçek hayattaki iş kararlarını anlamak için matematiksel modellerin nasıl kullanıldığını gösterir. Haydi adım adım bu soruyu çözelim.
Bize verilen kar denklemi $P(x) = -x^2 + 10x - 16$ şeklindedir. Burada $x$ bin adet ürün sayısını, $P(x)$ ise karı (bin TL) göstermektedir. Firmanın kar elde etmesi demek, karın pozitif olması demektir. Yani, $P(x) > 0$ olmasını istediğimiz $x$ aralığını bulmalıyız.
Bir firmanın kar etmeye başladığı veya zarar etmeyi bıraktığı noktalar, karın sıfır olduğu noktalardır. Bu noktalara "başa baş noktaları" veya "sıfır noktaları" denir. Bu noktaları bulmak için $P(x) = 0$ denklemini çözmeliyiz:
$ -x^2 + 10x - 16 = 0 $
Bu denklemi çözmek için her iki tarafı $-1$ ile çarpabiliriz, bu işlemi kolaylaştırır:
$ x^2 - 10x + 16 = 0 $
Şimdi bu ikinci dereceden denklemi çarpanlara ayırarak veya diskriminant formülü ($x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$) kullanarak çözebiliriz. Çarpanlara ayırma yöntemi daha hızlı olabilir:
Çarpımları $16$ ve toplamları $-10$ olan iki sayı arıyoruz. Bu sayılar $-2$ ve $-8$'dir.
Yani denklem $(x - 2)(x - 8) = 0$ şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Bu durumda, denklemin kökleri (sıfır noktaları) $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$ ve $x - 8 = 0 \Rightarrow x = 8$ olur.
Bu, firma $2$ bin adet veya $8$ bin adet ürün ürettiğinde karının sıfır olduğu (ne kar ne de zarar ettiği) anlamına gelir.
Kar fonksiyonumuz $P(x) = -x^2 + 10x - 16$ bir paraboldür. $x^2$ teriminin katsayısı (yani $-1$) negatif olduğu için, bu parabol aşağıya doğru açılan bir paraboldür (bir "ters U" şeklindedir).
Aşağıya doğru açılan bir parabol, sıfır noktaları arasında (yani $x$-eksenini kestiği noktalar arasında) $x$-ekseninin üzerinde kalır. $x$-ekseninin üzerinde olmak demek, fonksiyon değerinin ($P(x)$'in) pozitif olması demektir.
Bulduğumuz sıfır noktaları $x=2$ ve $x=8$ olduğuna göre, parabol bu iki nokta arasında pozitif değerler alacaktır.
Bu durumda, $P(x) > 0$ eşitsizliğinin çözümü $2 < x < 8$ aralığıdır.
Firmanın kar elde ettiği ürün aralığı $2 < x < 8$ olarak bulunmuştur. Bu, firma $2$ bin adetten fazla ve $8$ bin adetten az ürün ürettiğinde kar elde edeceği anlamına gelir. Örneğin, $3$ bin, $5$ bin veya $7$ bin adet ürün üretirse kar edecektir. $2$ bin veya $8$ bin adet ürün üretirse karı sıfır olur, bu aralığın dışında (örneğin $1$ bin veya $9$ bin adet) ürün üretirse zarar eder.
Bu adımları takip ettiğimizde, doğru cevabın A seçeneği olduğunu görüyoruz.
Cevap A seçeneğidir.
