Üçgende eşlik ne demek, nasıl anlaşılır? Test 2

İki üçgenin eş olabilmesi için aşağıdaki durumlardan hangisi YETERLİ DEĞİLDİR?

A) Karşılıklı tüm kenar uzunluklarının eşit olması
B) İki açı ve bir kenarın eşit olması (bu kenarın eşit açıların arasında olması şartıyla)
C) İki kenar ve bir açının eşit olması (bu açının eşit kenarlar arasında olması şartıyla)
D) İki açı ve bir kenarın eşit olması (bu kenarın eşit açılardan herhangi birinin karşısında olması)

Merhaba sevgili öğrenciler!

İki üçgenin eş olabilmesi için belirli koşulların sağlanması gerekir. Bu koşullara "eşlik kuralları" denir. Bir üçgenin kenar ve açıları, diğer üçgenin karşılıklı kenar ve açılarına eşit olduğunda bu üçgenler eştir. Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim ve hangi durumun eşlik için yeterli olup olmadığını görelim.

• A) Karşılıklı tüm kenar uzunluklarının eşit olması:

  Bu durum, Kenar-Kenar-Kenar (KKK) eşlik kuralıdır. Eğer iki üçgenin karşılıklı üç kenarının uzunlukları birbirine eşitse, bu üçgenler kesinlikle eştir. Bu kural, üçgenlerin şekil ve boyut olarak tamamen aynı olduğunu garanti eder.

  Sonuç: Bu durum eşlik için yeterlidir.

• B) İki açı ve bir kenarın eşit olması (bu kenarın eşit açıların arasında olması şartıyla):

  Bu durum, Açı-Kenar-Açı (AKA) eşlik kuralıdır. Eğer iki üçgenin karşılıklı iki açısı ve bu iki açının arasındaki kenar uzunluğu birbirine eşitse, bu üçgenler kesinlikle eştir. Bu kural da üçgenlerin eşliğini garanti eder.

  Sonuç: Bu durum eşlik için yeterlidir.

• C) İki kenar ve bir açının eşit olması (bu açının eşit kenarlar arasında olması şartıyla):

  Bu durum, Kenar-Açı-Kenar (KAK) eşlik kuralıdır. Eğer iki üçgenin karşılıklı iki kenarının uzunluğu ve bu iki kenar arasındaki açı birbirine eşitse, bu üçgenler kesinlikle eştir. Bu kural da üçgenlerin eşliğini garanti eder.

  Sonuç: Bu durum eşlik için yeterlidir.

• D) İki açı ve bir kenarın eşit olması (bu kenarın eşit açılardan herhangi birinin karşısında olması):

  Bu durum, genellikle Açı-Açı-Kenar (AAK) eşlik kuralı olarak bilinir. AAK kuralı, iki üçgenin karşılıklı iki açısı ve bu açılardan birinin karşısındaki kenarın eşit olması durumunda üçgenlerin eş olduğunu belirtir. Matematiksel olarak, eğer iki açı eşitse, üçüncü açı da otomatik olarak eşit olur ($180^\circ$ toplamından dolayı). Bu durumda, aslında AKA kuralına dönüşür ve eşlik için yeterlidir.

  Ancak, D seçeneğindeki ifadeye dikkat edelim: "bu kenarın eşit açılardan herhangi birinin karşısında olması". Bu ifade, eşit olan kenarın, iki üçgende de karşılıklı kenarlar olması gerektiğini açıkça belirtmemektedir. Yani, birinci üçgendeki bir açının karşısındaki kenar ile ikinci üçgendeki *başka bir açının* karşısındaki kenarın eşit olabileceği bir durumu da kapsayabilir.

  Şimdi bu durumu bir örnekle inceleyelim:

  • $\triangle ABC$ ve $\triangle DEF$ üçgenlerini düşünelim.
  • $\angle A = \angle D = 30^\circ$ ve $\angle B = \angle E = 45^\circ$ olsun. Bu durumda üçüncü açılar da eşit olur: $\angle C = \angle F = 180^\circ - (30^\circ + 45^\circ) = 105^\circ$.
  • Şimdi D seçeneğindeki "bir kenarın eşit olması (bu kenarın eşit açılardan herhangi birinin karşısında olması)" koşulunu uygulayalım.
  • $\triangle ABC$'de $\angle A$'nın karşısındaki kenar $a$ (yani $BC$) olsun ve $a = 5$ birim diyelim.
  • $\triangle DEF$'de ise $\angle E$'nin karşısındaki kenar $e$ (yani $DF$) olsun ve $e = 5$ birim diyelim.
  • Yani, iki üçgende ikişer açı eşit ($\angle A = \angle D$, $\angle B = \angle E$) ve birer kenar eşit ($a=e=5$ birim), üstelik bu kenarlar eşit açılardan birinin karşısında.
  • Şimdi Sinüs Teoremi'ni kullanarak diğer kenarları bulalım:
  • $\triangle ABC$ için: $a/\sin A = b/\sin B \implies 5/\sin 30^\circ = b/\sin 45^\circ \implies 5/(1/2) = b/(1/\sqrt{2}) \implies 10 = b\sqrt{2} \implies b = 5\sqrt{2}$ birim.
  • $\triangle DEF$ için: $d/\sin D = e/\sin E \implies d/\sin 30^\circ = 5/\sin 45^\circ \implies d/(1/2) = 5/(1/\sqrt{2}) \implies 2d = 5\sqrt{2} \implies d = 5\sqrt{2}/2$ birim.
  • Gördüğümüz gibi, $\triangle ABC$'nin $a$ kenarı $5$ birim iken, $\triangle DEF$'nin $d$ kenarı $5\sqrt{2}/2$ birimdir. Yani $a \ne d$. Bu durumda, üçgenlerin karşılıklı kenarları eşit değildir ve dolayısıyla üçgenler eş değildir.

  Bu örnek, D seçeneğindeki koşulun her zaman eşliği garanti etmediğini açıkça göstermektedir. Çünkü "eşit olan kenar"ın iki üçgende de "karşılıklı" olması şartı belirtilmemiştir.

  Sonuç: Bu durum eşlik için yeterli değildir.

Cevap D seçeneğidir.