ln(x) fonksiyonunun türevi aşağıdakilerden hangisidir?
A) $x$Bu soruda, doğal logaritma fonksiyonu olan $f(x) = \ln(x)$'in türevini bulmamız isteniyor. Türev alma kurallarını hatırlayarak bu soruyu adım adım çözelim.
Doğal Logaritma Fonksiyonunun Tanımı: $\ln(x)$ fonksiyonu, tabanı $e$ olan logaritma anlamına gelir. Yani, $\log_e(x)$ olarak da ifade edilebilir. Bu fonksiyon, $e^x$ üstel fonksiyonunun tersidir.
Temel Türev Kuralı: Matematikte, doğal logaritma fonksiyonunun türevi için bilmemiz gereken temel bir kural vardır. Bu kural şöyledir:
Eğer bir fonksiyon $f(x) = \ln(x)$ şeklinde ise, bu fonksiyonun $x$'e göre türevi $f'(x) = \frac{1}{x}$'tir.
Neden Bu Şekilde Olduğuna Kısa Bir Bakış (Ek Bilgi):
Bu kuralı, ters fonksiyonun türevi kuralını kullanarak da gösterebiliriz. Eğer $y = \ln(x)$ dersek, logaritmanın tanımından $x = e^y$ olur.
Şimdi her iki tarafın $x$'e göre türevini alalım:
$\frac{d}{dx}(x) = \frac{d}{dx}(e^y)$
Sol tarafın türevi $1$'dir. Sağ tarafın türevini alırken zincir kuralını kullanırız, çünkü $y$, $x$'in bir fonksiyonudur:
$1 = e^y \cdot \frac{dy}{dx}$
Şimdi $\frac{dy}{dx}$'i (yani $\ln(x)$'in türevini) yalnız bırakalım:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y}$
Başlangıçta $x = e^y$ olduğunu biliyorduk. Bu değeri denklemde yerine koyarsak:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$
Bu da bize $\ln(x)$'in türevinin $\frac{1}{x}$ olduğunu doğrular.
Seçeneklerin Değerlendirilmesi: Elde ettiğimiz türev sonucu $\frac{1}{x}$'tir. Şimdi verilen seçeneklere bakalım:
A) $x$ (Yanlış)
B) $\frac{1}{x}$ (Doğru)
C) $e^x$ (Yanlış, bu $e^x$ fonksiyonunun kendi türevidir)
D) $x \cdot \ln(x)$ (Yanlış)
Cevap B seçeneğidir.
