11 ile bölünebilme kuralı Test 2

7a2b dört basamaklı sayısı 11 ile tam bölünebildiğine göre, a - b farkı kaç olabilir?

A) 1
B) 3
C) 5
D) 7

• Merhaba sevgili öğrenciler!

  Bu soruda, dört basamaklı bir sayının 11 ile tam bölünebilme kuralını kullanarak $a-b$ farkını bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• 11 ile Bölünebilme Kuralı Nedir?
  • Bir sayının 11 ile tam bölünebilmesi için, sayının rakamları sağdan sola doğru sırasıyla bir artı (+), bir eksi (-) işaretleriyle gruplandırılarak toplanır.
  • Elde edilen sonucun 0 veya 11'in katı olması gerekir.
• Kuralı $7a2b$ Sayısına Uygulayalım:
  • Sayımız $7a2b$. Rakamları sağdan sola doğru işaretleyip toplayalım:
  • $b$ (birler basamağı) $\rightarrow +b$
  • $2$ (onlar basamağı) $\rightarrow -2$
  • $a$ (yüzler basamağı) $\rightarrow +a$
  • $7$ (binler basamağı) $\rightarrow -7$
  • Bu işaretli rakamları toplarsak: $(+b) + (-2) + (+a) + (-7) = b - 2 + a - 7$
  • Bu ifadeyi düzenlersek: $a + b - 9$
• Sonucun 11'in Katı Olması Gerekliliği:
  • 11 ile bölünebilme kuralına göre, $a + b - 9$ ifadesi 0 veya 11'in bir katı olmalıdır.
  • Bunu matematiksel olarak $a + b - 9 = 11k$ şeklinde ifade edebiliriz (burada $k$ bir tam sayıdır).
• $a$ ve $b$ Rakamlarının Sınırlarını Belirleyelim:
  • $a$ ve $b$ birer rakam olduğu için alabilecekleri değerler $0$ ile $9$ arasındadır. Yani, $0 \le a \le 9$ ve $0 \le b \le 9$.
  • Bu durumda, $a+b$ toplamının alabileceği en küçük değer $0+0=0$, en büyük değer ise $9+9=18$'dir.
  • Yani, $0 \le a+b \le 18$.
• $a+b$ Toplamını Bulalım:
  • $a+b = 9 + 11k$ eşitliğini, $0 \le a+b \le 18$ aralığında inceleyelim:
  • $0 \le 9 + 11k \le 18$
  • Eşitsizliğin her tarafından 9 çıkaralım: $-9 \le 11k \le 9$
  • Eşitsizliğin her tarafını 11'e bölelim: $-\frac{9}{11} \le k \le \frac{9}{11}$
  • Bu aralıkta olabilecek tek tam sayı değeri $k=0$'dır.
  • $k=0$ değerini $a+b = 9 + 11k$ denkleminde yerine koyarsak:
  • $a+b = 9 + 11 \times 0$
  • $a+b = 9$
• $a-b$ Farkını Bulalım:
  • Şimdi $a+b=9$ olduğunu biliyoruz. Bizden $a-b$ farkının kaç olabileceği isteniyor.
  • $a$ ve $b$ birer rakam olduğu için, $a+b=9$ koşulunu sağlayan $(a,b)$ rakam çiftlerini ve bu çiftler için $a-b$ farkını inceleyelim:
  • Eğer $a=9, b=0$ ise, $a-b = 9-0 = 9$.
  • Eğer $a=8, b=1$ ise, $a-b = 8-1 = 7$.
  • Eğer $a=7, b=2$ ise, $a-b = 7-2 = 5$.
  • Eğer $a=6, b=3$ ise, $a-b = 6-3 = 3$.
  • Eğer $a=5, b=4$ ise, $a-b = 5-4 = 1$.
  • Diğer durumlar için ($a=4, b=5$ gibi) $a-b$ negatif değerler alır.
  • Seçeneklere baktığımızda, $a-b$ farkının alabileceği değerlerden biri olan $3$ (yani $a=6, b=3$ durumu) B seçeneğinde bulunmaktadır.
  • Bu durumda, $a=6$ ve $b=3$ değerleri için sayımız $7623$ olur. Kontrol edelim: $3-2+6-7 = 1+6-7 = 7-7 = 0$. Sayı 11 ile tam bölünür. Ve $a-b = 6-3 = 3$ olur.

Cevap B seçeneğidir.