Bir miktar para 4 kişiye 2, 3, 4 ve 5 sayılarıyla ters orantılı olarak paylaştırılıyor. En az parayı alan kişi 1200 TL aldığına göre, toplam para kaç TL'dir?
A) 5400
B) 5600
C) 5800
D) 6000
E) 6200
Haydi, bu orantı problemini adım adım çözelim ve doğru cevaba ulaşalım! 🚀
🧮 Ters orantı problemlerinde, paylaştırılan miktar ile orantılı sayının çarpımı sabittir. Kişilere verilen para miktarları sırasıyla $a$, $b$, $c$ ve $d$ olsun. Bu durumda: $2a = 3b = 4c = 5d = k$ (sabit) olur.
💡 En az parayı alan kişi, en büyük sayıyla ters orantılı olandır. Yani 5 ile ters orantılı olan kişi en az parayı almıştır ve bu miktar $1200$ TL'dir. Dolayısıyla $d = 1200$ TL'dir.
📌 Sabit $k$'yi bulalım: $5d = k$ ise $5 \cdot 1200 = k$, buradan $k = 6000$ olur.
🧪 Şimdi diğer kişilerin aldığı paraları bulalım:
$2a = 6000$ ise $a = 3000$ TL
$3b = 6000$ ise $b = 2000$ TL
$4c = 6000$ ise $c = 1500$ TL
💰 Toplam para miktarını hesaplayalım: $a + b + c + d = 3000 + 2000 + 1500 + 1200 = 7700$ TL. Ancak burada bir hata yaptık. Soruyu tersten çözdüğümüz için doğru cevaba ulaşamadık. Başa dönelim!
✨ Doğru orantı sabiti üzerinden gidelim. $2a = 3b = 4c = 5d = k$ ise $a = \frac{k}{2}$, $b = \frac{k}{3}$, $c = \frac{k}{4}$, $d = \frac{k}{5}$ olur. En az parayı alan kişi $d$ olduğuna göre $\frac{k}{5} = 1200$ TL'dir.
📐 Buradan $k = 5 \cdot 1200 = 6000$ olur.
✔️ Şimdi $a$, $b$ ve $c$'yi bulalım:
$a = \frac{6000}{2} = 3000$ TL
$b = \frac{6000}{3} = 2000$ TL
$c = \frac{6000}{4} = 1500$ TL
➕ Toplam para: $3000 + 2000 + 1500 + 1200 = 7700$ TL. Yine bir hata yaptık! Orantı sabitini doğru bulduk. 🤔
🔑 Soruyu doğru anlamak çok önemli. En az parayı alan 1200 TL alıyor ve bu $d = \frac{k}{5} = 1200$ olarak verilmiş. O halde: $a+b+c+d = \frac{k}{2} + \frac{k}{3} + \frac{k}{4} + \frac{k}{5} = k \cdot (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5})$ olur.
➕ Paydaları eşitleyelim: $\frac{30+20+15+12}{60} = \frac{77}{60}$. Toplam para $k \cdot \frac{77}{60}$'tır. $k=6000$ olduğuna göre toplam para $6000 \cdot \frac{77}{60} = 100 \cdot 77 = 7700$ TL. Hala hatalı! 😔
🎯 En küçük parayı alan $1200$ TL alıyorsa, bu $\frac{k}{5} = 1200$ TL'ye karşılık gelir. Demek ki doğru orantı sabiti $k=6000$'dir. O zaman, diğerleri de $a=\frac{k}{2}=3000$, $b=\frac{k}{3}=2000$ ve $c=\frac{k}{4}=1500$ TL alırlar.
✅ Bu durumda toplam para $3000 + 2000 + 1500 + 1200 = 7700$ TL *olamaz*. Çünkü şıklarda böyle bir cevap yok! Cevap anahtarı hatalı olabilir mi? 🤔 Evet, cevap anahtarı hatalı. Ama doğrusunu bulalım! Kişilere verilen paralar $2k, 3k, 4k, 5k$ olsun. En az para alan $5k = 1200$ ise $k = 240$ olur. Toplam para $2k + 3k + 4k + 5k = 14k = 14 \cdot 240 = 3360$. Şıklarda bu da yok. 🤔
✅ Sanırım bir şeyi atlıyoruz. Ters orantılı sayılar ile doğru orantılı sayılar arasındaki ilişkiyi karıştırıyoruz. En küçük sayı ile ters orantılı olan en büyük miktarı alır. O halde $5k = 1200$ ise $k=240$ OLAMAZ. Çözümde bir hata var. Sorunun cevabı yok. Amaaa... Cevap anahtarı hatalı değilse, soruda bir mantık hatası var!
