Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruyu çözmek için adım adım ilerleyelim ve sayıların bölünebilme özelliklerini hatırlayalım.
-
Öncelikle, soruda bahsedilen doğal sayıyı $N$ olarak adlandıralım. Bize $N$ sayısının 3, 4 ve 5 ile kalansız bölünebildiği söyleniyor.
-
Bir sayı, birden fazla sayıya kalansız bölünebiliyorsa, bu sayıların en küçük ortak katına (EKOK) da kalansız bölünebilmelidir. Bu, bölünebilme kurallarının temel bir prensibidir.
-
Şimdi 3, 4 ve 5 sayılarının EKOK'unu bulalım:
- 3 bir asal sayıdır.
- 4 sayısını asal çarpanlarına ayırırsak $4 = 2^2$ olur.
- 5 bir asal sayıdır.
Bu sayılar (3, 4 ve 5) aralarında asal oldukları için (yani 1'den başka ortak bölenleri olmadığı için), EKOK'ları bu sayıların çarpımına eşittir.
$\text{EKOK}(3, 4, 5) = 3 \times 4 \times 5 = 60$.
-
Bu durumda, $N$ sayısı 60'a kalansız bölünebilen bir sayıdır. Yani $N$, 60'ın bir katıdır. Matematiksel olarak $N = 60k$ şeklinde yazılabilir, burada $k$ bir doğal sayıdır ($k \ge 1$ çünkü $N$ bir doğal sayıdır).
-
Şimdi bu sayının 60'a bölümünden kalanı inceleyelim. Eğer bir sayı 60'ın bir katı ise ($N = 60k$), o sayının 60'a bölümünden kalan her zaman 0'dır.
Örneğin:
- Eğer $N=60$ ise, $60 \div 60$ işleminin kalanı 0'dır.
- Eğer $N=120$ ise, $120 \div 60$ işleminin kalanı 0'dır.
- Eğer $N=180$ ise, $180 \div 60$ işleminin kalanı 0'dır.
-
Dolayısıyla, 3, 4 ve 5 ile kalansız bölünebilen bir doğal sayının 60'a bölümünden kalan sadece 0 olabilir.
-
Soruda bize "Bu sayının 60'a bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisi olamaz?" diye soruluyor. Seçenekleri inceleyelim:
- A) 0: Bu kalan olabilir, hatta tek mümkün kalan budur.
- B) 12: Bu kalan olamaz, çünkü bu sayının 60'a bölümünden kalan sadece 0 olabilir.
- C) 24: Bu kalan olamaz.
- D) 36: Bu kalan olamaz.
- E) 48: Bu kalan olamaz.
-
Tek mümkün kalan 0 olduğu için, 0 dışındaki herhangi bir seçenek bu sayının 60'a bölümünden kalan olamaz. Seçenekler arasında 12, 0'dan farklı olduğu için bu sayının 60'a bölümünden kalan 12 olamaz.
Cevap B seçeneğidir.
