Bir x doğal sayısının 18 ile bölümünden kalan 7'dir. Buna göre 4x + 5 ifadesinin 9'a bölümünden kalan kaçtır?
A) 1Soruda bize "bir $x$ doğal sayısının $18$ ile bölümünden kalan $7$'dir" deniyor. Bu ifadeyi matematiksel olarak modüler aritmetik kullanarak yazabiliriz:
$x \equiv 7 \pmod{18}$
Bu, $x$ sayısının $18$'in bir katı ile $7$'nin toplamı şeklinde yazılabileceği anlamına gelir. Yani, $x = 18k + 7$ (Burada $k$ bir tam sayıdır).
Bizden "$4x + 5$ ifadesinin $9$'a bölümünden kalan" isteniyor. Yani, $(4x + 5) \pmod{9}$ değerini bulmalıyız.
Elimizde $x$'in $18$ ile bölümünden kalan bilgisi var ($x \equiv 7 \pmod{18}$), ama bizden $9$ ile bölümünden kalan isteniyor. $18$, $9$'un bir katı olduğu için ($18 = 2 \times 9$), $x$'in $9$'a bölümünden kalanı kolayca bulabiliriz.
Eğer $x \equiv 7 \pmod{18}$ ise, bu $x$'in $18$'e bölündüğünde $7$ kalanını verdiği anlamına gelir. Bu durumda $x$, $18k+7$ şeklinde bir sayıdır.
Bu ifadeyi $9$ modülüne göre inceleyelim:
$x = 18k + 7$
$18k$ ifadesi $9$'un bir katıdır (çünkü $18$ zaten $9$'un katı). Bu yüzden $18k \equiv 0 \pmod{9}$ diyebiliriz.
O zaman $x \equiv 0 + 7 \pmod{9}$ olur. Yani, $x \equiv 7 \pmod{9}$.
Bu adımda, $x$'in $9$'a bölümünden kalanın $7$ olduğunu bulduk.
Şimdi $x \equiv 7 \pmod{9}$ bilgisini kullanarak $4x + 5$ ifadesinin $9$'a bölümünden kalanı bulalım.
Modüler aritmetikte, bir ifade içindeki değişkeni denk olduğu bir sayıyla değiştirebiliriz. Bu yüzden $x$ yerine $7$ yazabiliriz:
$(4x + 5) \pmod{9} \equiv (4 \times 7 + 5) \pmod{9}$
Önce çarpma işlemini yapalım:
$4 \times 7 = 28$
Şimdi toplama işlemini yapalım:
$28 + 5 = 33$
Son olarak, $33$'ün $9$'a bölümünden kalanı bulalım:
$33 = 3 \times 9 + 6$
Yani, $33 \equiv 6 \pmod{9}$.
Bu durumda, $4x + 5$ ifadesinin $9$'a bölümünden kalan $6$'dır.
Cevap C seçeneğidir.
