Aynı düzlemde bulunan iki vektörün toplamının sıfır olabilmesi için aşağıdaki özelliklerden hangisine sahip olmaları gerekir?
A) Aynı yönde ve eşit büyüklükte
B) Zıt yönde ve eşit büyüklükte
C) Birbirine dik ve eşit büyüklükte
D) Farklı büyüklükte ve zıt yönde
Sevgili öğrenciler, bu soruda iki vektörün toplamının sıfır olabilmesi için hangi özelliklere sahip olmaları gerektiğini inceliyoruz. Vektörler, hem büyüklüğü (şiddeti) hem de yönü olan niceliklerdir. İki vektörün toplamının sıfır olması, bu vektörlerin birbirini tamamen dengelemesi anlamına gelir.
- Öncelikle, iki vektörün toplamının sıfır olmasını matematiksel olarak ifade edelim. Eğer iki vektör $\vec{A}$ ve $\vec{B}$ ise, bunların toplamının sıfır olması demek $\vec{A} + \vec{B} = \vec{0}$ olması demektir. Burada $\vec{0}$ sıfır vektörünü (null vektör) temsil eder.
- Bu eşitliği yeniden düzenlersek, $\vec{B} = -\vec{A}$ sonucuna ulaşırız. Bu ifade bize $\vec{B}$ vektörünün, $\vec{A}$ vektörünün negatifine eşit olduğunu söyler.
- Peki, bir vektörün negatifi ne anlama gelir? Bir vektörün negatifi, o vektörle aynı büyüklükte ancak zıt yönde olan bir vektördür. Yani, eğer $\vec{B} = -\vec{A}$ ise:
- $\vec{B}$'nin büyüklüğü, $\vec{A}$'nın büyüklüğüne eşit olmalıdır. Yani, $|\vec{B}| = |\vec{A}|$.
- $\vec{B}$'nin yönü, $\vec{A}$'nın yönüne tamamen zıt olmalıdır.
- Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:
- A) Aynı yönde ve eşit büyüklükte: Eğer iki vektör aynı yönde ve eşit büyüklükte olsaydı (örneğin $\vec{A}$ ve $\vec{A}$), bunların toplamı $2\vec{A}$ olurdu. Bu toplam, sıfır vektörü değildir (eğer $\vec{A}$ zaten sıfır vektörü değilse). Dolayısıyla bu seçenek yanlıştır.
- B) Zıt yönde ve eşit büyüklükte: Eğer iki vektör zıt yönde ve eşit büyüklükte olsaydı (örneğin $\vec{A}$ ve $-\vec{A}$), bunların toplamı $\vec{A} + (-\vec{A}) = \vec{A} - \vec{A} = \vec{0}$ olurdu. İşte bu, aradığımız koşuldur! Birbirini tamamen dengeleyen iki vektörün toplamı sıfırdır.
- C) Birbirine dik ve eşit büyüklükte: Eğer iki vektör birbirine dik ve eşit büyüklükte olsaydı, bunların toplamı Pisagor teoremiyle bulunurdu. Örneğin, büyüklükleri $M$ olan iki dik vektörün toplamının büyüklüğü $\sqrt{M^2 + M^2} = \sqrt{2M^2} = M\sqrt{2}$ olurdu. Bu değer sıfır değildir (eğer $M=0$ değilse). Dolayısıyla bu seçenek yanlıştır.
- D) Farklı büyüklükte ve zıt yönde: Eğer iki vektör zıt yönde ama farklı büyüklükte olsaydı (örneğin $\vec{A}$ ve $-k\vec{A}$ burada $k \neq 1$), bunların toplamı $\vec{A} - k\vec{A} = (1-k)\vec{A}$ olurdu. $k \neq 1$ olduğu için $(1-k)$ sıfır olmaz ve dolayısıyla toplam sıfır vektörü olmaz. Dolayısıyla bu seçenek yanlıştır.
Yukarıdaki analizler sonucunda, iki vektörün toplamının sıfır olabilmesi için zıt yönde ve eşit büyüklükte olmaları gerektiği açıkça görülmektedir.
Cevap B seçeneğidir.
