Vektörlerin özellikleri Test 2

Bir uçak kuzeye doğru 300 km/s hızla uçarken, doğudan batıya doğru 100 km/s hızla esen bir rüzgarla karşılaşıyor.
Uçağın yere göre hız vektörünün büyüklüğü kaç km/s olur?

A) 200
B) $\sqrt{80000}$
C) 400
D) $\sqrt{100000}$

Bu problem, bağıl hız kavramını ve vektörlerin toplanmasını anlamamızı gerektiren klasik bir fizik problemidir. Uçağın kendi hızı ve rüzgarın hızı farklı yönlerde olduğu için, bu hızları vektörel olarak toplamamız gerekir.

• Verilen Bilgileri Belirleyelim:
  • Uçağın rüzgarsız havadaki hızı (havaya göre hızı): $v_u = 300 \text{ km/s}$ (Kuzey yönünde)
  • Rüzgarın hızı (yere göre hızı): $v_r = 100 \text{ km/s}$ (Doğudan Batıya, yani Batı yönünde)
• Vektörleri Tanımlayalım:

  Uçağın yere göre hızını bulmak için, uçağın havaya göre hızı vektörü ile rüzgarın yere göre hızı vektörünü toplamamız gerekir. Yönleri belirlemek için bir koordinat sistemi kullanalım:

  • Kuzey yönünü pozitif y ekseni olarak alalım.
  • Batı yönünü negatif x ekseni olarak alalım.

  Buna göre hız vektörlerini bileşenlerine ayıralım:

  • Uçağın havaya göre hız vektörü ($\vec{v}_u$): Kuzey yönünde olduğu için sadece y bileşeni vardır. $\vec{v}_u = (0, 300) \text{ km/s}$
  • Rüzgarın yere göre hız vektörü ($\vec{v}_r$): Batı yönünde olduğu için sadece negatif x bileşeni vardır. $\vec{v}_r = (-100, 0) \text{ km/s}$
• Yere Göre Hız Vektörünü Bulalım:

  Uçağın yere göre hız vektörü ($\vec{v}_g$), bu iki vektörün toplamıdır:

  $\vec{v}_g = \vec{v}_u + \vec{v}_r$

  $\vec{v}_g = (0, 300) + (-100, 0)$

  $\vec{v}_g = (0 - 100, 300 + 0)$

  $\vec{v}_g = (-100, 300) \text{ km/s}$

  Bu, uçağın yere göre hızının Batı yönünde $100 \text{ km/s}$ ve Kuzey yönünde $300 \text{ km/s}$ bileşenleri olduğu anlamına gelir.

• Hız Vektörünün Büyüklüğünü Hesaplayalım:

  Bir vektörün büyüklüğü (şiddeti), Pisagor teoremi kullanılarak bulunur. Eğer bir vektörün bileşenleri $(x, y)$ ise, büyüklüğü $\sqrt{x^2 + y^2}$ formülüyle hesaplanır.

  $|\vec{v}_g| = \sqrt{(-100)^2 + (300)^2}$

  $|\vec{v}_g| = \sqrt{10000 + 90000}$

  $|\vec{v}_g| = \sqrt{100000} \text{ km/s}$

Cevap D seçeneğidir.