Özkütlesi 2,4 g/cm³ olan bir cisim, özkütlesi 0,8 g/cm³ olan sıvı içine bırakılıyor.
Cismin sıvı içindeki görünen ağırlığı, gerçek ağırlığının kaç katıdır?
A) 1/2
B) 2/3
C) 3/4
D) 4/5
Sevgili öğrenciler, bu soruda bir cismin sıvı içindeki görünen ağırlığının, gerçek ağırlığına oranını bulmamız isteniyor. Bu tür soruları çözerken kaldırma kuvveti prensibini ve özkütle kavramını doğru bir şekilde uygulamak çok önemlidir. Haydi adım adım bu soruyu birlikte çözelim!
- Adım 1: Cismin Gerçek Ağırlığını ($G_{gerçek}$) Tanımlayalım.
- Cismin gerçek ağırlığı, cismin kütlesi ($m_{cisim}$) ile yerçekimi ivmesi ($g$) çarpımına eşittir: $G_{gerçek} = m_{cisim} \cdot g$.
- Cismin kütlesini, özkütlesi ($d_{cisim}$) ve hacmi ($V_{cisim}$) cinsinden ifade edebiliriz: $m_{cisim} = d_{cisim} \cdot V_{cisim}$.
- Bu durumda, cismin gerçek ağırlığı şu şekilde yazılır: $G_{gerçek} = d_{cisim} \cdot V_{cisim} \cdot g$.
- Adım 2: Kaldırma Kuvvetini ($F_k$) Tanımlayalım.
- Cismin özkütlesi ($2,4 \text{ g/cm}^3$), sıvının özkütlesinden ($0,8 \text{ g/cm}^3$) büyük olduğu için cisim sıvıya batacaktır. Bu durumda, cismin tüm hacmi sıvıya batar. Yani batan hacim ($V_{batan}$), cismin kendi hacmine ($V_{cisim}$) eşittir.
- Arşimet prensibine göre kaldırma kuvveti, batan hacim ($V_{batan}$), sıvının özkütlesi ($d_{sıvı}$) ve yerçekimi ivmesi ($g$) çarpımına eşittir: $F_k = V_{batan} \cdot d_{sıvı} \cdot g$.
- $V_{batan} = V_{cisim}$ olduğu için kaldırma kuvveti: $F_k = V_{cisim} \cdot d_{sıvı} \cdot g$.
- Adım 3: Cismin Sıvı İçindeki Görünen Ağırlığını ($G_{görünen}$) Hesaplayalım.
- Cismin sıvı içindeki görünen ağırlığı, gerçek ağırlığından kaldırma kuvveti çıkarılarak bulunur: $G_{görünen} = G_{gerçek} - F_k$.
- Yukarıdaki ifadeleri yerine yazarsak:
$G_{görünen} = (d_{cisim} \cdot V_{cisim} \cdot g) - (V_{cisim} \cdot d_{sıvı} \cdot g)$
- Ortak terim olan $V_{cisim} \cdot g$ parantezine alırsak:
$G_{görünen} = V_{cisim} \cdot g \cdot (d_{cisim} - d_{sıvı})$
- Adım 4: Görünen Ağırlığın Gerçek Ağırlığa Oranını Bulalım.
- Bize sorulan oran $ rac{G_{görünen}}{G_{gerçek}}$'tir. İfadeleri yerine yazalım:
$ rac{G_{görünen}}{G_{gerçek}} = rac{V_{cisim} \cdot g \cdot (d_{cisim} - d_{sıvı})}{d_{cisim} \cdot V_{cisim} \cdot g}$
- Pay ve paydadaki ortak terimler olan $V_{cisim}$ ve $g$ sadeleşir:
$ rac{G_{görünen}}{G_{gerçek}} = rac{d_{cisim} - d_{sıvı}}{d_{cisim}}$
- Bu ifadeyi daha basit bir şekilde yazabiliriz:
$ rac{G_{görünen}}{G_{gerçek}} = rac{d_{cisim}}{d_{cisim}} - rac{d_{sıvı}}{d_{cisim}} = 1 - rac{d_{sıvı}}{d_{cisim}}$
- Adım 5: Sayısal Değerleri Yerine Koyalım.
- Verilen değerler: $d_{cisim} = 2,4 \text{ g/cm}^3$ ve $d_{sıvı} = 0,8 \text{ g/cm}^3$.
- Formülde yerine yazalım:
$ rac{G_{görünen}}{G_{gerçek}} = 1 - rac{0,8 \text{ g/cm}^3}{2,4 \text{ g/cm}^3}$
- Oranı hesaplayalım:
$ rac{0,8}{2,4} = rac{8}{24} = rac{1}{3}$
- Sonuç olarak:
$ rac{G_{görünen}}{G_{gerçek}} = 1 - rac{1}{3} = rac{3}{3} - rac{1}{3} = rac{2}{3}$
Yani cismin sıvı içindeki görünen ağırlığı, gerçek ağırlığının $ rac{2}{3}$ katıdır.
Cevap B seçeneğidir.
