Bir ABC üçgeninde sinA = \(\frac{3}{5}\), cosB = \(\frac{12}{13}\) olduğuna göre, sinC'nin değeri kaçtır?
A) \(\frac{16}{65}\)Bu soruda bir ABC üçgeninde verilen sinüs ve kosinüs değerlerini kullanarak sinC değerini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
Bir ABC üçgeninde iç açıların toplamı $180^\circ$'dir. Yani $A + B + C = 180^\circ$.
Buradan $C = 180^\circ - (A + B)$ yazabiliriz.
Bu durumda $\sin C$ değerini bulmak için $\sin(180^\circ - (A + B))$ ifadesini kullanırız. Trigonometrik özdeşliklerden bildiğimiz gibi $\sin(180^\circ - x) = \sin x$ olduğundan, $\sin C = \sin(A + B)$ olacaktır.
Şimdi amacımız $\sin(A + B)$ değerini bulmak. Bunun için sinüs toplam formülünü kullanacağız: $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$.
Bize $\sin A = \frac{3}{5}$ ve $\cos B = \frac{12}{13}$ değerleri verilmiş. $\sin(A + B)$ formülü için $\cos A$ ve $\sin B$ değerlerine ihtiyacımız var. Bu değerleri $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ temel trigonometrik özdeşliğini kullanarak bulabiliriz.
$\cos A$ değerini bulalım:
$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ formülünü kullanalım:
$(\frac{3}{5})^2 + \cos^2 A = 1$
$\frac{9}{25} + \cos^2 A = 1$
$\cos^2 A = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25 - 9}{25} = \frac{16}{25}$
Buradan $\cos A = \pm \sqrt{\frac{16}{25}} = \pm \frac{4}{5}$ bulunur.
Bir üçgenin açısı olan $A$ için $\cos A$ pozitif veya negatif olabilir (dar açı veya geniş açı olmasına bağlı olarak). Ancak, genellikle bu tür sorularda aksi belirtilmedikçe açının dar açı olduğu varsayılır veya seçeneklere uygun olan değer seçilir. Bu durumda $\cos A = \frac{4}{5}$ olarak alacağız.
$\sin B$ değerini bulalım:
$\sin^2 B + \cos^2 B = 1$ formülünü kullanalım:
$\sin^2 B + (\frac{12}{13})^2 = 1$
$\sin^2 B + \frac{144}{169} = 1$
$\sin^2 B = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169}$
Buradan $\sin B = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}$ bulunur. (Bir üçgenin açısı olan $B$ için $\sin B$ her zaman pozitiftir. Ayrıca $\cos B = \frac{12}{13} > 0$ olduğu için $B$ açısı dar açıdır, bu da $\sin B$'nin pozitif olmasını gerektirir.)
Şimdi bulduğumuz değerleri $\sin C = \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ formülünde yerine koyalım:
$\sin C = (\frac{3}{5}) \cdot (\frac{12}{13}) + (\frac{4}{5}) \cdot (\frac{5}{13})$
$\sin C = \frac{3 \cdot 12}{5 \cdot 13} + \frac{4 \cdot 5}{5 \cdot 13}$
$\sin C = \frac{36}{65} + \frac{20}{65}$
$\sin C = \frac{36 + 20}{65}$
$\sin C = \frac{56}{65}$
Böylece $\sin C$ değerini $\frac{56}{65}$ olarak bulmuş olduk.
Cevap C seçeneğidir.
