Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, bir sayının 15 ile tam bölünebilme kuralını kullanarak $A$ ve $B$ rakamlarının alabileceği değerleri bulup, $A+B$ toplamının en büyük değerini hesaplayacağız. Hadi adım adım ilerleyelim:
- Adım 1: 15 ile Bölünebilme Kuralını Anlayalım
- Bir sayı 15 ile tam bölünebiliyorsa, bu sayı hem 3 ile hem de 5 ile tam bölünebilmelidir. Çünkü $15 = 3 \times 5$'tir ve 3 ile 5 aralarında asal sayılardır. Bu kuralı kullanarak $A$ ve $B$ rakamlarını bulacağız.
- Adım 2: 5 ile Bölünebilme Kuralını Uygulayalım
- Bir sayının 5 ile tam bölünebilmesi için son rakamının 0 veya 5 olması gerekir. Bizim sayımız $42A7B$ olduğuna göre, $B$ rakamı ya 0 ya da 5 olmalıdır.
- Adım 3: 3 ile Bölünebilme Kuralını Uygulayalım
- Bir sayının 3 ile tam bölünebilmesi için rakamları toplamının 3'ün katı olması gerekir. $42A7B$ sayısının rakamları toplamı $4 + 2 + A + 7 + B = 13 + A + B$'dir. Bu toplamın 3'ün katı olması gerekiyor.
- Adım 4: $B$ için Olası Değerleri İnceleyelim ve $A+B$'yi Maksimum Yapalım
- $A$ ve $B$ birer rakam olduğu için $0 \le A \le 9$ ve $0 \le B \le 9$ olmalıdır. $A+B$'nin en büyük değerini bulmak için $A$ ve $B$'nin mümkün olan en büyük değerlerini deneyeceğiz.
- Durum 1: $B = 0$ ise
- Eğer $B=0$ ise, rakamlar toplamı $13 + A + 0 = 13 + A$ olur. Bu toplamın 3'ün katı olması gerekir. $A$'ya 0'dan 9'a kadar değerler vererek 3'ün katı olanları bulalım:
- Eğer $A=2$ ise, $13+2=15$ (3'ün katı). Bu durumda $A+B = 2+0=2$.
- Eğer $A=5$ ise, $13+5=18$ (3'ün katı). Bu durumda $A+B = 5+0=5$.
- Eğer $A=8$ ise, $13+8=21$ (3'ün katı). Bu durumda $A+B = 8+0=8$.
- Bu durumda $A+B$'nin alabileceği en büyük değer $8$'dir.
- Durum 2: $B = 5$ ise
- Eğer $B=5$ ise, rakamlar toplamı $13 + A + 5 = 18 + A$ olur. Bu toplamın 3'ün katı olması gerekir. 18 zaten 3'ün bir katı olduğu için, $A$'nın da 3'ün katı olması gerekir ki toplam yine 3'ün katı olsun. $A$'ya 0'dan 9'a kadar değerler vererek 3'ün katı olanları bulalım:
- Eğer $A=0$ ise, $18+0=18$ (3'ün katı). Bu durumda $A+B = 0+5=5$.
- Eğer $A=3$ ise, $18+3=21$ (3'ün katı). Bu durumda $A+B = 3+5=8$.
- Eğer $A=6$ ise, $18+6=24$ (3'ün katı). Bu durumda $A+B = 6+5=11$.
- Eğer $A=9$ ise, $18+9=27$ (3'ün katı). Bu durumda $A+B = 9+5=14$.
- Bu durumda $A+B$'nin alabileceği en büyük değer $14$'tür.
- Adım 5: En Büyük Değeri Belirleyelim
- İki durumu karşılaştırdığımızda:
- $B=0$ iken en büyük $A+B$ değeri $8$.
- $B=5$ iken en büyük $A+B$ değeri $14$.
- Bu iki değerden en büyüğü $14$'tür. Yani $A+B$'nin alabileceği en büyük değer $14$'tür. Bu durumda sayı $42975$ olur. Rakamları toplamı $4+2+9+7+5 = 27$'dir ve 27, 3'e tam bölünür. Son rakamı 5 olduğu için 5'e de tam bölünür. Dolayısıyla 15'e tam bölünür.
Cevap D seçeneğidir.
