Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir sayının farklı modüllere göre kalanlarını kullanarak başka bir ifadenin kalanını bulma becerimizi test edeceğiz. Adım adım ilerleyerek bu tür soruları nasıl çözeceğimizi öğrenelim.
- Adım 1: Verilen Bilgiyi Anlayalım ve Matematiksel Olarak İfade Edelim
- Soruda bize $x$ doğal sayısının 6 ile bölümünden kalanın 4 olduğu söyleniyor.
- Bu bilgiyi matematiksel olarak iki şekilde ifade edebiliriz:
- Birincisi, denklik (modüler aritmetik) kullanarak: $x \equiv 4 \pmod{6}$.
- İkincisi, bölme algoritması kullanarak: $x = 6k + 4$ (burada $k$ bir tam sayıdır). Bu ifade, $x$'in 6'nın bir katından 4 fazla olduğunu gösterir.
- Adım 2: $x$'in 3 ile Bölümünden Kalanı Bulalım
- Bizden istenen ifade $x^2 + 3x + 2$'nin 3 ile bölümünden kalanı bulmak olduğu için, öncelikle $x$'in 3 ile bölümünden kalanı bulmamız gerekiyor.
- Bunun için, $x = 6k + 4$ ifadesini 3 ile bölümünden kalana göre inceleyelim:
- $6k$ ifadesi, 6'nın bir katı olduğu için aynı zamanda 3'ün de bir katıdır. Dolayısıyla, $6k$'nin 3 ile bölümünden kalan 0'dır. Yani, $6k \equiv 0 \pmod{3}$.
- $4$ sayısının 3 ile bölümünden kalan ise 1'dir. Yani, $4 \equiv 1 \pmod{3}$.
- Bu durumda, $x \equiv (6k + 4) \pmod{3}$ ifadesi, $x \equiv (0 + 1) \pmod{3}$ haline gelir.
- Yani, $x \equiv 1 \pmod{3}$ olur. Bu demektir ki, $x$'in 3 ile bölümünden kalan 1'dir.
- Adım 3: İfadeyi 3 ile Bölümünden Kalana Göre Değerlendirelim
- Şimdi $x^2 + 3x + 2$ ifadesinin 3 ile bölümünden kalanı bulacağız.
- $x \equiv 1 \pmod{3}$ olduğunu biliyoruz. Bu bilgiyi ifadede yerine yazalım ve her terimin 3 ile bölümünden kalanını bulalım:
- Birinci terim ($x^2$): $x \equiv 1 \pmod{3}$ olduğundan, $x^2 \equiv 1^2 \pmod{3} \equiv 1 \pmod{3}$ olur.
- İkinci terim ($3x$): $3x$ ifadesi 3'ün bir katıdır. Bu nedenle, $3x \equiv 0 \pmod{3}$ olur.
- Üçüncü terim ($2$): $2$ sayısının 3 ile bölümünden kalan $2$'dir. Yani, $2 \equiv 2 \pmod{3}$ olur.
- Şimdi bu kalanları toplayalım: $(x^2 + 3x + 2) \equiv (1 + 0 + 2) \pmod{3}$.
- Bu toplam $3 \pmod{3}$ olur.
- $3$ sayısının 3 ile bölümünden kalan ise $0$'dır.
- Yani, $x^2 + 3x + 2$ ifadesinin 3 ile bölümünden kalan $0$'dır.
- Adım 4: Sonucu Belirleyelim
- Bulduğumuz kalan 0'dır. Seçeneklerde bu A şıkkına denk gelmektedir.
Cevap A seçeneğidir.
