5. Sınıf Çevre Uzunluğu Aynı Olan Dikdörtgenler Nedir? Test 1

Bir dikdörtgenin çevresi 36 cm'dir. Bu dikdörtgenin kenar uzunlukları santimetre cinsinden tam sayı olduğuna göre, alanı en fazla kaç cm² olabilir?

A) 72
B) 80
C) 81
D) 90

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda bir dikdörtgenin çevresi verilmiş ve kenar uzunlukları tam sayı olmak üzere, alanının en fazla kaç olabileceği soruluyor. Adım adım bu problemi nasıl çözeceğimizi inceleyelim:

• 1. Dikdörtgenin Çevre Formülünü Hatırlayalım:

  Bir dikdörtgenin uzun kenarına $L$, kısa kenarına $W$ dersek, çevresi $P = 2 \times (L + W)$ formülüyle bulunur.

• 2. Verilen Çevre Bilgisini Kullanalım:

  Soruda çevrenin 36 cm olduğu belirtilmiş. Bu bilgiyi formülde yerine yazarsak:

  $2 \times (L + W) = 36$ cm

• 3. Kenar Uzunlukları Toplamını Bulalım:

  Eşitliğin her iki tarafını 2'ye bölersek, uzun kenar ile kısa kenarın toplamını buluruz:

  $L + W = \frac{36}{2}$

  $L + W = 18$ cm

  Yani, dikdörtgenin uzun ve kısa kenarının toplamı 18 cm olmalıdır.

• 4. Dikdörtgenin Alan Formülünü Hatırlayalım:

  Bir dikdörtgenin alanı $A = L \times W$ formülüyle bulunur.

• 5. Alanı En Fazla Yapacak Kenar Uzunluklarını Bulalım:

  Kenar uzunlukları toplamı sabit (18 cm) olan bir dikdörtgenin alanının en büyük olması için, kenar uzunluklarının birbirine en yakın olması gerekir. Hatta kenarlar birbirine eşit olduğunda (yani bir kare olduğunda) alan en büyük değerini alır.

  Kenar uzunlukları tam sayı olduğu için, $L + W = 18$ eşitliğini sağlayan ve birbirine en yakın olan tam sayı ikilisi $L = 9$ cm ve $W = 9$ cm'dir. (Bu durumda dikdörtgenimiz bir kare olur, kare de özel bir dikdörtgendir.)

  Diğer olası tam sayı kenar çiftlerini ve alanlarını inceleyelim:

  • $L=17, W=1 \implies A = 17 \times 1 = 17$ cm²
  • $L=16, W=2 \implies A = 16 \times 2 = 32$ cm²
  • $L=15, W=3 \implies A = 15 \times 3 = 45$ cm²
  • $L=14, W=4 \implies A = 14 \times 4 = 56$ cm²
  • $L=13, W=5 \implies A = 13 \times 5 = 65$ cm²
  • $L=12, W=6 \implies A = 12 \times 6 = 72$ cm²
  • $L=11, W=7 \implies A = 11 \times 7 = 77$ cm²
  • $L=10, W=8 \implies A = 10 \times 8 = 80$ cm²
  • $L=9, W=9 \implies A = 9 \times 9 = 81$ cm²

  Gördüğümüz gibi, kenarlar birbirine yaklaştıkça alan artmakta ve kenarlar eşit olduğunda (9 ve 9) en büyük değerine ulaşmaktadır.

• 6. Maksimum Alanı Hesaplayalım:

  Kenar uzunlukları $L=9$ cm ve $W=9$ cm olduğunda, alan:

  $A = 9 \times 9 = 81$ cm²

Bu durumda, dikdörtgenin alanı en fazla 81 cm² olabilir.

Cevap C seçeneğidir.