f(x+a) grafiği (Yatay öteleme) Test 1

5. f(x) = x³ fonksiyonunun grafiği a birim sağa ötelendiğinde f(x) = (x-2)³ fonksiyonu elde ediliyor. Buna göre a kaçtır?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4

Fonksiyon grafikleri üzerindeki öteleme (kaydırma) hareketlerini anlamak, matematiğin önemli konularından biridir. Bir fonksiyonun grafiğini sağa veya sola ötelemek, fonksiyonun kuralında belirli değişikliklere yol açar. Şimdi bu soruyu adım adım inceleyelim:

• Adım 1: Başlangıç Fonksiyonunu Belirleme

  Soruda bize verilen başlangıçtaki fonksiyon $f(x) = x^3$ şeklindedir. Bu, $x$ değerlerinin küpünü alarak $y$ değerlerini bulduğumuz temel bir kübik fonksiyondur.

• Adım 2: Sağa Öteleme Kuralını Hatırlama

  Bir fonksiyonun grafiği $a$ birim sağa ötelendiğinde, fonksiyonun kuralı $f(x)$ iken $f(x-a)$ şekline dönüşür. Yani, fonksiyonun içindeki $x$ yerine $(x-a)$ yazılır. Bu kuralı hatırlamak, öteleme problemlerini çözmek için anahtardır. Eğer sola öteleme olsaydı, $x$ yerine $(x+a)$ yazılırdı.

• Adım 3: Öteleme Kuralını Uygulama

  Başlangıç fonksiyonumuz $f(x) = x^3$ idi. Bu fonksiyonu $a$ birim sağa ötelediğimizde, $x$ yerine $(x-a)$ yazmalıyız. Bu durumda yeni fonksiyonumuz $g(x) = (x-a)^3$ olur.

• Adım 4: Elde Edilen Fonksiyonu Karşılaştırma

  Soruda, bu öteleme sonucunda elde edilen fonksiyonun $f(x) = (x-2)^3$ olduğu belirtilmiştir. O zaman, bizim öteleme sonucunda bulduğumuz fonksiyon ile soruda verilen fonksiyon birbirine eşit olmalıdır. Yani, $(x-a)^3 = (x-2)^3$ eşitliğini kurarız.

• Adım 5: $a$ Değerini Bulma

  İki ifadenin birbirine eşit olabilmesi için, küp alma işleminden önceki tabanların da eşit olması gerekir. Bu durumda, $(x-a)$ ifadesi $(x-2)$ ifadesine eşit olmalıdır:

  $x-a = x-2$

  Bu eşitlikte her iki taraftan $x$ terimini çıkardığımızda:

  $-a = -2$

  Her iki tarafı $-1$ ile çarptığımızda:

  $a = 2$

  Buna göre, fonksiyonun grafiği $2$ birim sağa ötelenmiştir.

Cevap B seçeneğidir.