Bu soruda, bir logaritma fonksiyonunun grafiği üzerinde öteleme işlemi yaparak yeni bir fonksiyon elde edeceğiz ve ardından bu yeni fonksiyonun belirli bir noktadaki değerini bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
- Adım 1: Orijinal Fonksiyonu Tanımlama
- Bize verilen orijinal fonksiyon $f(x) = \log_2 x$'tir. Bu fonksiyonun grafiği, $x$ değerleri arttıkça yavaşça artan bir eğri çizer ve $x=1$ noktasında $y=0$ değerini alır.
- Adım 2: Fonksiyon Öteleme Kuralını Uygulama
- Bir fonksiyonun grafiği $k$ birim sağa ötelenirse, yeni fonksiyonun kuralı $f(x-k)$ şeklinde olur. Yani, $x$ yerine $(x-k)$ yazılır.
- Soruda fonksiyonun grafiği 3 birim sağa öteleniyor. Bu durumda $k=3$ olacaktır.
- Orijinal fonksiyonumuz $f(x) = \log_2 x$ olduğuna göre, 3 birim sağa ötelenmiş yeni fonksiyonumuz $g(x)$ şöyle olacaktır:
- $g(x) = f(x-3) = \log_2 (x-3)$
- Adım 3: Yeni Fonksiyonun Tanım Kümesini Belirleme (Ek Bilgi)
- Logaritma fonksiyonlarının tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifadenin pozitif olması gerekir. Yani, $x-3 > 0$ olmalıdır. Buradan $x > 3$ sonucunu elde ederiz. Bu, yeni fonksiyonumuzun grafiğinin $x=3$ doğrusunun sağında yer alacağı anlamına gelir.
- Adım 4: Yeni Fonksiyonun $x=5$ Noktasındaki Değerini Hesaplama
- Şimdi bizden istenen, yeni fonksiyonumuz olan $g(x) = \log_2 (x-3)$ fonksiyonunun $x=5$ noktasındaki değerini bulmaktır. Bunun için $x$ yerine 5 yazacağız:
- $g(5) = \log_2 (5-3)$
- $g(5) = \log_2 (2)$
- Adım 5: Logaritma Değerini Hesaplama
- $\log_b b = 1$ kuralını hatırlayalım. Yani, tabanı ile logaritması alınan sayı aynı ise sonuç 1'dir.
- Bu durumda, $\log_2 2 = 1$ olacaktır.
- Yani, yeni fonksiyonun $x=5$ noktasındaki değeri 1'dir.
Cevap B seçeneğidir.
