Merhaba sevgili öğrenciler! Bir düzgün onikigenin toplam kaç tane köşegeni olduğunu adım adım, anlaşılır bir şekilde bulalım.
-
Adım 1: Problemi Anlayalım ve Temel Bilgileri Hatırlayalım.
Öncelikle, soruda geçen terimleri netleştirelim:
- Bir düzgün onikigen, 12 kenarı ve dolayısıyla 12 köşesi olan bir çokgendir. (Burada "düzgün" kelimesi, tüm kenar uzunluklarının ve iç açılarının eşit olduğu anlamına gelir, ancak köşegen sayısını hesaplarken bu bilgiye doğrudan ihtiyacımız yoktur; sadece köşe sayısına bakarız.)
- Bir köşegen, bir çokgenin komşu olmayan iki köşesini birleştiren doğru parçasıdır. Yani, bir köşeden kendisine veya komşu köşelerine çizilen çizgiler köşegen değildir.
-
Adım 2: Köşegen Sayısını Bulmak İçin Mantık Yürütelim.
Şimdi, bir çokgenin köşegen sayısını nasıl bulacağımızı düşünelim:
- Bir çokgenin $n$ tane köşesi olsun. Düzgün onikigen için $n = 12$'dir.
- Herhangi bir köşeyi ele alalım. Bu köşeden diğer tüm köşelere toplam $n-1$ tane doğru parçası çizilebilir (çünkü kendisi hariç $n-1$ köşe vardır).
- Bu $n-1$ doğru parçasından 2 tanesi, o köşenin komşusu olan köşelere çizilen kenarlardır. Örneğin, bir A köşesinden B ve C köşelerine çizilen AB ve AC kenarları. Bunlar köşegen değildir.
- Geriye kalan $n-1-2 = n-3$ tane doğru parçası ise o köşeden çizilebilecek köşegenlerdir.
-
Adım 3: Köşegen Sayısı Formülünü Oluşturalım.
Şimdi bu mantığı tüm köşelere uygulayalım:
- Bir çokgenin $n$ tane köşesi olduğu için, her bir köşeden $n-3$ tane köşegen çizilebilir. Bu durumda toplam $n \times (n-3)$ tane köşegen varmış gibi düşünebiliriz.
- Ancak, bu hesaplamada her köşegen iki kez sayılmış olur. Örneğin, A köşesinden B köşesine çizilen köşegen ile B köşesinden A köşesine çizilen köşegen aynı köşegendir.
- Bu nedenle, toplamı 2'ye bölmemiz gerekir.
- Böylece, bir $n$-kenarlı çokgenin toplam köşegen sayısı formülü: $D = \frac{n(n-3)}{2}$ olur.
-
Adım 4: Formülü Düzgün Onikigen İçin Uygulayalım.
Düzgün onikigen için kenar sayısı $n = 12$'dir. Şimdi bu değeri formülümüze yerleştirelim:
- $D = \frac{n(n-3)}{2}$
- $D = \frac{12(12-3)}{2}$
- $D = \frac{12(9)}{2}$
- $D = \frac{108}{2}$
- $D = 54$
Yani, bir düzgün onikigenin toplam 54 tane köşegeni vardır.
Cevap A seçeneğidir.
