Geniş açılı üçgen nedir Test 2

Bir üçgenin kenar uzunlukları 5 cm, 7 cm ve 9 cm'dir. Bu üçgenin en büyük açısının ölçüsü için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) 90°'den küçüktür
B) 90°'dir
C) 90°'den büyüktür
D) 60°'dir

Sevgili öğrenciler, bu soruda bir üçgenin kenar uzunlukları verilmiş ve en büyük açısının ölçüsü hakkında yorum yapmamız isteniyor. Bir üçgende en büyük açı, her zaman en uzun kenarın karşısında bulunur. Bu bilgiyi kullanarak ve Pisagor teoreminin genişletilmiş halini (veya Kosinüs Teoremi'ni) düşünerek soruyu adım adım çözelim.

• 1. En Büyük Açıyı Belirleme: Bir üçgende en büyük açı, en uzun kenarın karşısındaki açıdır. Verilen kenar uzunlukları 5 cm, 7 cm ve 9 cm olduğuna göre, en uzun kenar 9 cm'dir. Dolayısıyla, aradığımız en büyük açı, 9 cm'lik kenarın karşısındaki açıdır.
• 2. Açının Türünü Belirleme Kuralı: Bir üçgenin en uzun kenarı $c$, diğer kenarları $a$ ve $b$ olsun. Bu durumda, $c$ kenarının karşısındaki açının türünü belirlemek için $c^2$ ile $a^2 + b^2$ toplamını karşılaştırırız.

  Eğer $c^2 < a^2 + b^2$ ise, $c$ kenarının karşısındaki açı dar açıdır ($90^\circ$'den küçüktür).

  Eğer $c^2 = a^2 + b^2$ ise, $c$ kenarının karşısındaki açı dik açıdır ($90^\circ$'dir).

  Eğer $c^2 > a^2 + b^2$ ise, $c$ kenarının karşısındaki açı geniş açıdır ($90^\circ$'den büyüktür).

  Bu kural, aslında Kosinüs Teoremi'nin ($c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$) bir sonucudur. Eğer $\cos(\gamma)$ negatifse (yani $\gamma$ geniş açıysa), $-2ab \cos(\gamma)$ ifadesi pozitif olur ve $c^2$ değeri $a^2 + b^2$'den büyük olur.

• 3. Hesaplamaları Yapma: Şimdi bu kuralı verilen kenar uzunluklarına uygulayalım. Kenarlarımız 5 cm, 7 cm ve 9 cm. En uzun kenar $c = 9$ cm'dir. Diğer kenarlar $a = 5$ cm ve $b = 7$ cm'dir.

  Önce en uzun kenarın karesini bulalım: $c^2 = 9^2 = 81$.

  Şimdi diğer iki kenarın karelerinin toplamını bulalım: $a^2 + b^2 = 5^2 + 7^2 = 25 + 49 = 74$.

• 4. Sonucu Karşılaştırma ve Yorumlama: Hesaplamalar sonucunda $c^2 = 81$ ve $a^2 + b^2 = 74$ bulduk. Görüldüğü gibi $81 > 74$, yani $c^2 > a^2 + b^2$ durumu geçerlidir. Bu durumda, en uzun kenarın karşısındaki açı geniş açıdır. Geniş açı demek, ölçüsü $90^\circ$'den büyük olan açıdır.

Bu nedenle, üçgenin en büyük açısının ölçüsü $90^\circ$'den büyüktür.

Cevap C seçeneğidir.