Riemann toplamı nedir Test 2

Bir arabanın hızı düzenli olarak artmaktadır. t=0'da hız 10 m/s, t=4'de hız 22 m/s'dir. Bu 4 saniyelik sürede arabanın aldığı yolu bulmak için orta nokta Riemann toplamı kullanılıyor ve 2 eşit alt aralığa bölünüyor. Buna göre arabanın aldığı yol kaç metredir?

A) 56
B) 60
C) 64
D) 68

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir arabanın hızının düzenli olarak arttığı bir senaryoda, belirli bir zaman aralığında katettiği mesafeyi Orta Nokta Riemann Toplamı kullanarak bulmamız isteniyor. Riemann toplamları, bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki integralini (yani bu durumda hız-zaman grafiğinin altındaki alanı, yani alınan yolu) yaklaşık olarak hesaplamak için kullanılan güçlü bir yöntemdir. Hadi adım adım bu problemi çözelim!

• 1. Hız Fonksiyonunu Belirleyelim:

  Soruda arabanın hızının düzenli olarak arttığı belirtiliyor. Bu, hız-zaman grafiğinin bir doğru (lineer bir fonksiyon) olduğu anlamına gelir. Bize iki nokta verilmiş:

  • $t=0$ anında hız $v(0) = 10$ m/s.
  • $t=4$ anında hız $v(4) = 22$ m/s.

  Doğrunun denklemi $v(t) = mt + b$ şeklindedir. Burada $m$ eğim (ivme) ve $b$ ise $t=0$ anındaki hızdır.

  • Eğim $m = \frac{\text{hız değişimi}}{\text{zaman değişimi}} = \frac{v(4) - v(0)}{4 - 0} = \frac{22 - 10}{4} = \frac{12}{4} = 3$ m/s$^2$.
  • $t=0$ anındaki hız $b = v(0) = 10$ m/s.

  Buna göre hız fonksiyonumuz $v(t) = 3t + 10$ olarak bulunur.

• 2. Zaman Aralığını ve Alt Aralıkları Belirleyelim:

  Toplam zaman aralığı $t=0$ ile $t=4$ saniyeler arasıdır, yani $[0, 4]$. Bu aralık 2 eşit alt aralığa bölünecektir.

  • Her bir alt aralığın genişliği $\Delta t = \frac{\text{toplam zaman aralığı}}{\text{alt aralık sayısı}} = \frac{4 - 0}{2} = \frac{4}{2} = 2$ saniye olacaktır.
  • Alt aralıklar:
  • Birinci alt aralık: $[0, 2]$
  • İkinci alt aralık: $[2, 4]$
• 3. Her Bir Alt Aralığın Orta Noktalarını Bulalım:

  Orta Nokta Riemann Toplamı için her alt aralığın tam ortasındaki zaman değerini kullanmamız gerekir.

  • Birinci alt aralığın $[0, 2]$ orta noktası: $t_1^* = \frac{0 + 2}{2} = 1$ saniye.
  • İkinci alt aralığın $[2, 4]$ orta noktası: $t_2^* = \frac{2 + 4}{2} = 3$ saniye.
• 4. Orta Noktalardaki Hız Değerlerini Hesaplayalım:

  Bulduğumuz orta nokta zaman değerlerini hız fonksiyonumuz $v(t) = 3t + 10$ içinde yerine koyarak o anlardaki hızları bulalım.

  • $t_1^* = 1$ saniye için hız: $v(1) = 3(1) + 10 = 3 + 10 = 13$ m/s.
  • $t_2^* = 3$ saniye için hız: $v(3) = 3(3) + 10 = 9 + 10 = 19$ m/s.
• 5. Orta Nokta Riemann Toplamını Hesaplayarak Alınan Yolu Bulalım:

  Alınan yol, her alt aralık için orta noktadaki hız değeri ile alt aralık genişliğinin çarpımlarının toplamıdır. Matematiksel olarak, $\text{Yol} \approx \sum_{i=1}^{n} v(t_i^*) \Delta t$ formülüyle ifade edilir.

  • Alınan Yol $\approx v(t_1^*) \cdot \Delta t + v(t_2^*) \cdot \Delta t$
  • Alınan Yol $\approx v(1) \cdot 2 + v(3) \cdot 2$
  • Alınan Yol $\approx 13 \cdot 2 + 19 \cdot 2$
  • Alınan Yol $\approx 26 + 38$
  • Alınan Yol $\approx 64$ metre.

Bu adımları takip ederek, arabanın 4 saniyelik sürede aldığı yolun yaklaşık 64 metre olduğunu bulduk.

Cevap C seçeneğidir.