Bir açının esas ölçüsü, [0, 2π) aralığında olan ölçüsüdür. Buna göre, 17π/3 radyanlık açının esas ölçüsü kaç radyandır?
A) 5π/3Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün sizlerle trigonometride önemli bir kavram olan esas ölçüyü bulma sorusunu adım adım çözeceğiz. Bir açının esas ölçüsü, o açının $[0, 2\pi)$ aralığındaki eşdeğeridir. Yani, bir açının başlangıç kenarı ile bitim kenarının konumunu değiştirmeden, $2\pi$ (bir tam tur) ve katlarını atarak veya ekleyerek bu aralığa getirme işlemidir.
Bir açının esas ölçüsü, açının bitim kenarının konumunu belirleyen ve $0$ ile $2\pi$ (dahil değil) arasında yer alan açıdır. Yani, $0 \le \text{esas ölçü} < 2\pi$ olmalıdır. Bir açının üzerine $2\pi$ veya $2\pi$'nin tam katlarını eklemek ya da çıkarmak, açının bitim kenarının konumunu değiştirmez. Örneğin, $\pi/3$ ile $\pi/3 + 2\pi = 7\pi/3$ açıları aynı konumu gösterir.
Bize verilen açı $17\pi/3$ radyandır. Bu açı $2\pi$'den büyüktür, çünkü $17/3 \approx 5.67$ iken $2\pi \approx 6.28$. Daha net ifade etmek gerekirse, $17/3 = 5 + 2/3$. Yani $17\pi/3 = 5\pi + 2\pi/3$. Bu açı $2\pi$'den büyüktür, dolayısıyla esas ölçüsünü bulmak için $2\pi$'nin katlarını çıkarmamız gerekmektedir.
Radyan cinsinden verilen bir açının esas ölçüsünü bulmak için birkaç yöntem kullanabiliriz. En pratik yöntemlerden biri şudur:
Verilen açı $17\pi/3$. Bu açının esas ölçüsünü bulmak için, paydaki $17$ sayısını, paydanın $2$ katına (yani $2 \times 3 = 6$) böleriz. Bu bölme işleminden elde ettiğimiz kalan, esas ölçünün payı olur. Payda ise aynı kalır.
Öncelikle, paydanın $2$ katını bulalım: $2 \times 3 = 6$.
Şimdi, açının payını ($17$) bu sayıya ($6$) bölelim ve kalanı bulalım:
$17 \div 6$ işlemi yapıldığında, bölüm $2$ ve kalan $5$ olur.
Yani, $17 = 2 \times 6 + 5$.
Bu kalan ($5$), esas ölçünün yeni payı olacaktır. Orijinal payda ($3$) ise değişmez.
Böylece esas ölçü $5\pi/3$ olarak bulunur.
Bu işlemi matematiksel olarak açıklarsak:
Biz $17\pi/3$ açısını $k \cdot 2\pi + \text{esas ölçü}$ şeklinde yazmak istiyoruz, burada $k$ bir tam sayı ve $0 \le \text{esas ölçü} < 2\pi$ olmalıdır.
$17\pi/3 = \frac{17}{3}\pi$.
Bu ifadeyi $2\pi$'nin katları cinsinden yazmak için, $\frac{17}{3}$ sayısının içinde kaç tane $2$ olduğunu bulmalıyız. Yani $\frac{17}{3}$'ü $2$'ye bölelim:
$\frac{17}{3} \div 2 = \frac{17}{6}$.
Şimdi $\frac{17}{6}$ ifadesini tam sayı ve kesirli kısım olarak yazalım: $\frac{17}{6} = 2 + \frac{5}{6}$.
Bu durumda, $17\pi/3 = \left(2 + \frac{5}{6}\right) \cdot 2\pi = 2 \cdot 2\pi + \frac{5}{6} \cdot 2\pi$.
Buradaki $2 \cdot 2\pi = 4\pi$ kısmı, iki tam tur anlamına gelir ve açının esas ölçüsünü etkilemez. Geriye kalan $\frac{5}{6} \cdot 2\pi$ kısmı ise esas ölçüdür.
$\frac{5}{6} \cdot 2\pi = \frac{10\pi}{6} = \frac{5\pi}{3}$.
Bulduğumuz $5\pi/3$ değeri, esas ölçü tanımına uygun olarak $[0, 2\pi)$ aralığında mıdır? Evet, $0 \le 5\pi/3 < 2\pi$ koşulunu sağlamaktadır ($5/3 \approx 1.67$, bu da $0$ ile $2$ arasındadır).
Yapılan işlemler sonucunda $17\pi/3$ radyanlık açının esas ölçüsü $5\pi/3$ radyan olarak bulunmuştur.
Cevap A seçeneğidir.
