f(x) = x³ - 4x fonksiyonu veriliyor. Buna göre f(-x) fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A) f(x) fonksiyonunun grafiğinin orijine göre simetriği
B) f(x) fonksiyonunun grafiğinin x eksenine göre simetriği
C) f(x) fonksiyonunun grafiğinin y eksenine göre simetriği
D) f(x) fonksiyonunun grafiğinin y = x doğrusuna göre simetriği
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir fonksiyonun grafiği üzerinde yapılan temel dönüşümlerden birini inceleyeceğiz. Adım adım ilerleyerek konuyu daha iyi anlayalım.
- Adım 1: Fonksiyon Dönüşümlerini Hatırlayalım
- Bir $y = f(x)$ fonksiyonunun grafiği verildiğinde, bu grafiği kullanarak farklı dönüşümlerle yeni fonksiyonların grafiklerini çizebiliriz. Bu dönüşümlerden biri de $y = f(-x)$ dönüşümüdür.
- Adım 2: $y = f(-x)$ Dönüşümünün Anlamı Nedir?
- $y = f(-x)$ dönüşümü, $f(x)$ fonksiyonunun grafiğindeki her $(x, y)$ noktasını, $(-x, y)$ noktasına taşır. Yani, bir $x$ değeri için $f(x)$ ne ise, $-x$ değeri için de aynı $y$ değerini alması demektir.
- Bu dönüşüm, grafiğin y eksenine göre simetriğinin alınması anlamına gelir. Y ekseninin sağındaki grafik soluna, solundaki grafik ise sağına yansır.
- Adım 3: Verilen Fonksiyona Uygulama
- Bize $f(x) = x^3 - 4x$ fonksiyonu verilmiş ve $f(-x)$ fonksiyonunun grafiği soruluyor.
- Yukarıda öğrendiğimiz genel kurala göre, $f(-x)$ fonksiyonunun grafiği, $f(x)$ fonksiyonunun grafiğinin y eksenine göre simetriğidir.
- Adım 4: Fonksiyonun Özel Durumunu İnceleyelim (Ek Bilgi ve Neden Karışıklık Olabilir?)
- İsterseniz $f(-x)$'i açıkça hesaplayalım:
- $f(-x) = (-x)^3 - 4(-x)$
- $f(-x) = -x^3 + 4x$
- Şimdi $f(x)$ ile karşılaştıralım:
- $f(x) = x^3 - 4x$
- $f(-x) = -x^3 + 4x = -(x^3 - 4x)$
- Gördüğümüz gibi, bu özel durumda $f(-x) = -f(x)$ eşitliği sağlanıyor.
- Bu durum, $f(x)$ fonksiyonunun "tek fonksiyon" (orijine göre simetrik) olduğunu gösterir. Tek fonksiyonlarda, grafiğin y eksenine göre simetriğini almak ($f(-x)$) ile x eksenine göre simetriğini almak ($-f(x)$) aynı sonucu verir.
- Ancak sorunun kökünde "f(-x) fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?" diye sorulduğunda, bu dönüşümün *tanımı* y eksenine göre simetridir. Fonksiyonun tek olması, bu simetrinin aynı zamanda x eksenine göre simetriye de eşit olduğunu gösterir, ancak dönüşümün kendisi y eksenine göre simetridir.
- Adım 5: Seçenekleri Değerlendirme
- A) $f(x)$ fonksiyonunun grafiğinin orijine göre simetriği: Bu, $-f(-x)$'in grafiğidir.
- B) $f(x)$ fonksiyonunun grafiğinin x eksenine göre simetriği: Bu, $-f(x)$'in grafiğidir.
- C) $f(x)$ fonksiyonunun grafiğinin y eksenine göre simetriği: Bu, $f(-x)$'in grafiğidir.
- D) $f(x)$ fonksiyonunun grafiğinin y = x doğrusuna göre simetriği: Bu, $f^{-1}(x)$ (ters fonksiyon) grafiğidir.
Sonuç olarak, $f(-x)$ fonksiyonunun grafiği her zaman $f(x)$ fonksiyonunun grafiğinin y eksenine göre simetriğidir.
Cevap C seçeneğidir.
