f(-x) grafiği (Y eksenine göre simetri) Test 2

f(x) fonksiyonunun grafiği orijine göre simetriktir. Buna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A) f(-x) = f(x)
B) f(-x) = -f(x)
C) f(-x) = |f(x)|
D) f(-x) = f(|x|)

• Adım 1: Orijine Göre Simetri Kavramını Anlayalım

  Bir fonksiyonun grafiğinin orijine göre simetrik olması demek, eğer grafiğin üzerinde bir $(x, y)$ noktası varsa, o zaman grafiğin üzerinde mutlaka $(-x, -y)$ noktasının da bulunması gerektiği anlamına gelir. Başka bir deyişle, grafiği orijin etrafında $180^\circ$ döndürdüğümüzde, grafik kendi üzerine çakışır.

• Adım 2: Fonksiyon Notasyonu ile İlişkilendirelim

  Bir $(x, y)$ noktası $f(x)$ fonksiyonunun grafiği üzerindeyse, bu demektir ki $y = f(x)$'tir.

  Orijine göre simetri tanımına göre, eğer $(x, y)$ noktası grafikteyse, o zaman $(-x, -y)$ noktası da grafikte olmalıdır.

  Bu $(-x, -y)$ noktasını fonksiyon notasyonuyla ifade edersek, $x$ yerine $-x$ ve $y$ yerine $-y$ yazmalıyız. Yani, $-y = f(-x)$ olur.

• Adım 3: Simetri Kuralını Türetelim

  Adım 2'den iki önemli eşitliğimiz var:

  • $y = f(x)$
  • $-y = f(-x)$

  İlk eşitlikteki $y$ değerini ikinci eşitlikte yerine yazalım. Yani, $- (f(x)) = f(-x)$ olur.

  Bu eşitliği daha düzenli yazarsak, $f(-x) = -f(x)$ elde ederiz. Bu kural, orijine göre simetrik olan fonksiyonlar için geçerlidir ve bu tür fonksiyonlara "tek fonksiyonlar" denir.

• Adım 4: Seçenekleri Değerlendirelim
  • A) $f(-x) = f(x)$: Bu kural, y-eksenine göre simetrik olan fonksiyonlar (çift fonksiyonlar) için geçerlidir. Sorumuz orijine göre simetriyi soruyor.
  • B) $f(-x) = -f(x)$: Bu kural, bizim türettiğimiz kuraldır ve orijine göre simetrik olan fonksiyonlar (tek fonksiyonlar) için kesinlikle doğrudur.
  • C) $f(-x) = |f(x)|$: Bu, standart bir simetri kuralı değildir ve orijine göre simetriyi ifade etmez.
  • D) $f(-x) = f(|x|)$: Bu da standart bir simetri kuralı değildir ve orijine göre simetriyi ifade etmez.

Türettiğimiz kural $f(-x) = -f(x)$ olduğu için, doğru seçenek B'dir.

Cevap B seçeneğidir.