KPSS Kombinasyon konu anlatımı Test 1

Bir sınıfta 6 kız ve 4 erkek öğrenci bulunmaktadır. Kız öğrencilerden 2'si, erkek öğrencilerden 2'si seçilerek bir ekip oluşturulacaktır. Bu ekip kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

A) 60
B) 75
C) 90
D) 120
E) 150

Sevgili öğrenciler, bu problemde bir gruptan belirli sayıda kişi seçme durumunu inceliyoruz. Seçim yaparken sıralamanın önemli olmadığı durumlarda kombinasyon kullanırız. Ekibimizi oluşturmak için hem kız öğrenciler arasından hem de erkek öğrenciler arasından seçim yapmamız gerekiyor. Bu iki seçimi ayrı ayrı hesaplayıp sonra birleştireceğiz.

• Adım 1: Problemi Anlama ve Kombinasyon Kavramı

  Sınıfta 6 kız ve 4 erkek öğrenci var. Bizden 2 kız ve 2 erkek öğrenci seçerek bir ekip oluşturmamız isteniyor. Seçim yaparken öğrencilerin sırası önemli olmadığı için (yani Ayşe ve Fatma'yı seçmekle Fatma ve Ayşe'yi seçmek aynı ekip demektir), kombinasyon formülünü kullanacağız. Kombinasyon formülü $C(n, k)$ veya $\binom{n}{k}$ şeklinde gösterilir ve $n$ farklı eleman arasından $k$ eleman seçme sayısını verir. Formülü: $C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

• Adım 2: Kız Öğrencileri Seçme Sayısı

  6 kız öğrenci arasından 2 kız öğrenci seçeceğiz. Burada $n=6$ ve $k=2$ olur. Kombinasyon formülünü uygulayalım:

  $C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!}$

  Faktöriyelleri açalım: $6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$, $2! = 2 \times 1$, $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1$.

  $C(6, 2) = \frac{6 \times 5 \times 4!}{2 \times 1 \times 4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = \frac{30}{2} = 15$

  Yani, 6 kız öğrenci arasından 2 kız öğrenciyi 15 farklı şekilde seçebiliriz.

• Adım 3: Erkek Öğrencileri Seçme Sayısı

  4 erkek öğrenci arasından 2 erkek öğrenci seçeceğiz. Burada $n=4$ ve $k=2$ olur. Kombinasyon formülünü uygulayalım:

  $C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!}$

  Faktöriyelleri açalım: $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1$, $2! = 2 \times 1$.

  $C(4, 2) = \frac{4 \times 3 \times 2!}{2 \times 1 \times 2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = \frac{12}{2} = 6$

  Yani, 4 erkek öğrenci arasından 2 erkek öğrenciyi 6 farklı şekilde seçebiliriz.

• Adım 4: Toplam Ekip Oluşturma Sayısı

  Ekibimiz hem 2 kız öğrenciden hem de 2 erkek öğrenciden oluşacağı için, kız öğrencileri seçme yolları ile erkek öğrencileri seçme yollarını çarpmamız gerekir. Çünkü bu iki seçim birbirinden bağımsızdır ve aynı anda gerçekleşerek ekibi oluşturur.

  Toplam ekip oluşturma sayısı = (Kız seçme sayısı) $\times$ (Erkek seçme sayısı)

  Toplam ekip oluşturma sayısı = $15 \times 6 = 90$

  Bu ekip 90 farklı şekilde oluşturulabilir.

Cevap C seçeneğidir.