KPSS Kombinasyon konu anlatımı Test 1

Bir sınavda 10 sorudan oluşan bir testte, öğrenci en az 5 soruyu cevaplayacaktır. Öğrenci kaç farklı şekilde soru seçimi yapabilir?

A) 386
B) 462
C) 512
D) 638
E) 1024

Bu soruda, bir testteki 10 sorudan en az 5 tanesini kaç farklı şekilde seçebileceğimizi bulmamız isteniyor. Bu tür seçim problemlerinde, sıralamanın önemli olmadığı durumlarda kombinasyon kullanırız. Kombinasyon formülü $C(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ şeklindedir.

Soruda "en az 5 soru" dendiği için, öğrenci şu durumları seçebilir:

• 10 sorudan 5 soru seçebilir.
• 10 sorudan 6 soru seçebilir.
• 10 sorudan 7 soru seçebilir.
• 10 sorudan 8 soru seçebilir.
• 10 sorudan 9 soru seçebilir.
• 10 sorudan 10 soru seçebilir.

Bu durumların her birini ayrı ayrı hesaplayıp toplamamız gerekiyor. Şimdi her bir durumu adım adım inceleyelim:

• 1. Adım: 10 sorudan 5 soru seçme ($C(10, 5)$)

Bu, $\binom{10}{5}$ olarak gösterilir ve şu şekilde hesaplanır:

$C(10, 5) = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 2 \times 9 \times 2 \times 7 = 252$ farklı şekilde.

• 2. Adım: 10 sorudan 6 soru seçme ($C(10, 6)$)

Bu, $\binom{10}{6}$ olarak gösterilir ve şu şekilde hesaplanır. Kombinasyonların simetri özelliğinden ($C(n, k) = C(n, n-k)$) faydalanarak $C(10, 6) = C(10, 4)$ olduğunu da düşünebiliriz:

$C(10, 6) = \frac{10!}{6!(10-6)!} = \frac{10!}{6!4!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 7 = 210$ farklı şekilde.

• 3. Adım: 10 sorudan 7 soru seçme ($C(10, 7)$)

Bu, $\binom{10}{7}$ olarak gösterilir. Simetri özelliğinden $C(10, 7) = C(10, 3)$ olduğunu kullanabiliriz:

$C(10, 7) = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10!}{7!3!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$ farklı şekilde.

• 4. Adım: 10 sorudan 8 soru seçme ($C(10, 8)$)

Bu, $\binom{10}{8}$ olarak gösterilir. Simetri özelliğinden $C(10, 8) = C(10, 2)$ olduğunu kullanabiliriz:

$C(10, 8) = \frac{10!}{8!(10-8)!} = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$ farklı şekilde.

• 5. Adım: 10 sorudan 9 soru seçme ($C(10, 9)$)

Bu, $\binom{10}{9}$ olarak gösterilir. Simetri özelliğinden $C(10, 9) = C(10, 1)$ olduğunu kullanabiliriz:

$C(10, 9) = \frac{10!}{9!(10-9)!} = \frac{10!}{9!1!} = 10$ farklı şekilde.

• 6. Adım: 10 sorudan 10 soru seçme ($C(10, 10)$)

Bu, $\binom{10}{10}$ olarak gösterilir. 10 sorudan 10'unu seçmenin sadece 1 yolu vardır:

$C(10, 10) = \frac{10!}{10!(10-10)!} = \frac{10!}{10!0!} = 1$ farklı şekilde. (Unutmayın, $0! = 1$)

• 7. Adım: Tüm durumları toplama

Öğrencinin en az 5 soru seçebileceği toplam farklı yol sayısı, yukarıdaki tüm durumların toplamıdır:

Toplam = $C(10, 5) + C(10, 6) + C(10, 7) + C(10, 8) + C(10, 9) + C(10, 10)$

Toplam = $252 + 210 + 120 + 45 + 10 + 1 = 638$ farklı şekilde.

Cevap D seçeneğidir.