P(2,4) ve R(14,16) noktaları veriliyor. [PR] doğru parçasını |PS|:|SR|=3:1 oranında içten bölen S noktasından geçen ve PR'ye paralel olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = x + 2
B) y = x + 3
C) y = x + 4
D) y = x + 5
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, iki nokta arasında belirli bir oranda içten bölen bir nokta bulmamız ve bu noktadan geçen, aynı zamanda verilen doğru parçasına paralel olan bir doğrunun denklemini yazmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Adım: S noktasının koordinatlarını bulalım.
- P($x_1, y_1$) = (2,4) ve R($x_2, y_2$) = (14,16) noktaları veriliyor. S noktası [PR] doğru parçasını $|PS|:|SR|=3:1$ oranında içten böldüğü için, S noktasının koordinatlarını içten bölme formülü ile bulabiliriz.
- S noktasının apsisi ($x_S$): $x_S = \frac{k_2 x_1 + k_1 x_2}{k_1 + k_2}$ formülünü kullanacağız. Burada $k_1=3$ ve $k_2=1$'dir.
- $x_S = \frac{1 \cdot 2 + 3 \cdot 14}{3 + 1} = \frac{2 + 42}{4} = \frac{44}{4} = 11$
- S noktasının ordinatı ($y_S$): $y_S = \frac{k_2 y_1 + k_1 y_2}{k_1 + k_2}$ formülünü kullanacağız.
- $y_S = \frac{1 \cdot 4 + 3 \cdot 16}{3 + 1} = \frac{4 + 48}{4} = \frac{52}{4} = 13$
- Böylece S noktasının koordinatları S(11, 13) olarak bulunur.
- 2. Adım: PR doğru parçasının eğimini bulalım.
- Aradığımız doğru, PR doğru parçasına paralel olduğu için, eğimleri aynı olacaktır. Öncelikle PR doğru parçasının eğimini bulalım.
- İki noktası bilinen doğrunun eğim formülü $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ idi.
- P(2,4) ve R(14,16) noktalarını kullanarak eğimi hesaplayalım:
- $m_{PR} = \frac{16 - 4}{14 - 2} = \frac{12}{12} = 1$
- Aradığımız doğrunun eğimi de $m = 1$ olacaktır.
- 3. Adım: Doğrunun denklemini yazalım.
- Elimizde doğrunun geçtiği bir nokta S(11, 13) ve doğrunun eğimi $m=1$ var.
- Bir noktası ve eğimi bilinen doğrunun denklemi $y - y_1 = m(x - x_1)$ formülü ile bulunur.
- $y - 13 = 1(x - 11)$
- $y - 13 = x - 11$
- $y = x - 11 + 13$
- $y = x + 2$
Bulduğumuz doğru denklemi $y = x + 2$'dir. Seçeneklere baktığımızda bu denklemin A seçeneğinde olduğunu görüyoruz.
Cevap A seçeneğidir.
