$$\sqrt{200} - \sqrt{72}$$ işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) $$2\sqrt{2}$$Sevgili öğrenciler, bu tür köklü ifadelerde toplama veya çıkarma işlemi yapabilmek için öncelikle kök içindeki sayıları en sade hallerine getirmemiz gerekir. Yani, kök içindeki sayıları bir tam kare ile başka bir sayının çarpımı şeklinde yazmaya çalışacağız. Haydi adım adım ilerleyelim!
Birinci Terimi Sadeleştirme: İlk olarak $\sqrt{200}$ ifadesini sadeleştirelim. $200$ sayısının çarpanları arasında en büyük tam kareyi bulmalıyız. $200$ sayısı, $100 \times 2$ olarak yazılabilir ve $100$ bir tam karedir ($10^2$).
Bu durumda, $\sqrt{200} = \sqrt{100 \times 2}$ şeklinde yazabiliriz.
Kök dışına çıkarma kuralına göre, $\sqrt{100 \times 2} = \sqrt{100} \times \sqrt{2}$ olur.
$\sqrt{100}$ ifadesi $10$'a eşit olduğu için, $\sqrt{200}$ ifadesi $10\sqrt{2}$ olarak sadeleşir.
İkinci Terimi Sadeleştirme: Şimdi de $\sqrt{72}$ ifadesini sadeleştirelim. $72$ sayısının çarpanları arasında en büyük tam kareyi bulmalıyız. $72$ sayısı, $36 \times 2$ olarak yazılabilir ve $36$ bir tam karedir ($6^2$).
Bu durumda, $\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2}$ şeklinde yazabiliriz.
Kök dışına çıkarma kuralına göre, $\sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2}$ olur.
$\sqrt{36}$ ifadesi $6$'ya eşit olduğu için, $\sqrt{72}$ ifadesi $6\sqrt{2}$ olarak sadeleşir.
İşlemi Tamamlama: Her iki ifadeyi de sadeleştirdiğimize göre, şimdi çıkarma işlemini yapabiliriz. İlk ifademiz $10\sqrt{2}$ ve ikinci ifademiz $6\sqrt{2}$ idi.
İşlemimiz $\sqrt{200} - \sqrt{72}$ idi. Sadeleştirilmiş hallerini yerine yazarsak:
$10\sqrt{2} - 6\sqrt{2}$
Köklü ifadelerde toplama veya çıkarma yaparken, kök içindeki sayılar aynı ise katsayıları toplayıp çıkarabiliriz. Burada her iki terimin de kök içi $\sqrt{2}$ olduğu için, katsayıları olan $10$ ve $6$'yı çıkarabiliriz.
$(10 - 6)\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$
Böylece işlemin sonucunu $4\sqrt{2}$ olarak bulmuş olduk.
Cevap C seçeneğidir.
