Eşitsizliklerde işaret tablosu nasıl yapılır Test 1

x² - 4 > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?

A) (-∞, -2) ∪ (2, ∞)
B) (-2, 2)
C) [-2, 2]
D) (-∞, -2] ∪ [2, ∞)

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bir eşitsizliğin çözüm kümesini bulacağız. Adım adım ilerleyerek konuyu daha iyi anlayalım.

• Öncelikle verilen eşitsizliği inceleyelim: $x^2 - 4 > 0$. Bu bir ikinci dereceden eşitsizliktir.

• İkinci dereceden eşitsizlikleri çözerken ilk adım, ifadeyi sıfıra eşitleyip köklerini bulmaktır. Bu köklere "kritik noktalar" denir.

  • $x^2 - 4 = 0$
  • Bu ifadeyi çarpanlarına ayırabiliriz. İki kare farkı özdeşliğini hatırlayalım: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
  • Burada $a=x$ ve $b=2$ olduğu için ifade $(x-2)(x+2) = 0$ şeklinde yazılır.
  • Bu denklemin kökleri (kritik noktalar) $x-2=0 \implies x=2$ ve $x+2=0 \implies x=-2$ olur.

• Kritik noktaları bulduktan sonra, bu noktalar sayı doğrusunu belirli aralıklara böler. Bu aralıklar $(-\infty, -2)$, $(-2, 2)$ ve $(2, \infty)$ şeklindedir.

• Şimdi bu aralıklarda eşitsizliğin işaretini incelememiz gerekiyor. Bunun için her aralıktan bir test değeri seçip eşitsizlikte yerine koyabiliriz:

  • 1. Aralığımız: $(-\infty, -2)$
    • Bu aralıktan bir sayı seçelim, örneğin $x = -3$.
    • Eşitsizlikte yerine koyalım: $(-3)^2 - 4 = 9 - 4 = 5$.
    • $5 > 0$ olduğu için bu aralık eşitsizliği sağlar.
  • 2. Aralığımız: $(-2, 2)$
    • Bu aralıktan bir sayı seçelim, örneğin $x = 0$.
    • Eşitsizlikte yerine koyalım: $(0)^2 - 4 = 0 - 4 = -4$.
    • $-4 > 0$ ifadesi yanlış olduğu için bu aralık eşitsizliği sağlamaz.
  • 3. Aralığımız: $(2, \infty)$
    • Bu aralıktan bir sayı seçelim, örneğin $x = 3$.
    • Eşitsizlikte yerine koyalım: $(3)^2 - 4 = 9 - 4 = 5$.
    • $5 > 0$ olduğu için bu aralık eşitsizliği sağlar.

• Eşitsizliği sağlayan aralıkları birleştirdiğimizde çözüm kümesini elde ederiz. Eşitsizliğimiz $x^2 - 4 > 0$ olduğu için, kökler çözüm kümesine dahil değildir (açık aralık kullanılır).

  • Çözüm kümesi: $(-\infty, -2) \cup (2, \infty)$

Bu çözüm kümesi seçeneklerden A şıkkına karşılık gelmektedir.

Cevap A seçeneğidir.