Eşitsizliklerde işaret tablosu nasıl yapılır Test 1

x² + 4x + 3 ≤ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) [-3, -1]
B) (-3, -1)
C) (-∞, -3] ∪ [-1, ∞)
D) (-∞, -3) ∪ (-1, ∞)

Sevgili öğrenciler, bu soruda bir ikinci dereceden eşitsizliğin çözüm kümesini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu tür soruları nasıl çözeceğimizi öğrenelim.

• 1. Adım: Eşitsizliği Denkleme Dönüştürerek Kökleri Bulma

  Öncelikle, verilen $x^2 + 4x + 3 \leq 0$ eşitsizliğini bir denklem gibi düşünerek köklerini bulmamız gerekiyor. Yani, $x^2 + 4x + 3 = 0$ denklemini çözeceğiz. Bu denklemi çarpanlara ayırarak çözebiliriz:

  İki sayının çarpımı $3$ ve toplamı $4$ olmalı. Bu sayılar $1$ ve $3$'tür.

  Denklemi $(x+1)(x+3) = 0$ şeklinde yazabiliriz.

  Bu durumda kökler $x+1=0 \Rightarrow x_1 = -1$ ve $x+3=0 \Rightarrow x_2 = -3$ olur.

• 2. Adım: İşaret Tablosu Oluşturma veya Parabol Yönünü Belirleme

  Şimdi bulduğumuz kökleri kullanarak eşitsizliğin işaretini incelemeliyiz. Bunun için iki yöntem kullanabiliriz: işaret tablosu oluşturmak veya parabolün yönünü düşünmek.

  Parabol Yöntemi: $x^2$'nin katsayısı $1$ (pozitif) olduğu için parabolün kolları yukarıya doğrudur. Kökler $-3$ ve $-1$'dir. Kolları yukarı doğru olan bir parabol, kökler arasında (yani $-3$ ile $-1$ arasında) $x$-ekseninin altında kalır, bu da ifadenin negatif olduğu anlamına gelir. Köklerin dışında ise $x$-ekseninin üstünde kalır, bu da ifadenin pozitif olduğu anlamına gelir.

  İşaret Tablosu Yöntemi: Kökleri sayı doğrusuna küçükten büyüğe doğru yerleştiririz: $-3$ ve $-1$. $x^2$'nin katsayısı pozitif olduğu için en sağdan (yani $-1$'in sağından) artı $(+)$ işaretiyle başlarız ve her kökte işaret değiştiririz.

  Sayı doğrusu:

  $x$ | ... $-3$ ... $-1$ ...
  --- | --- --- --- ---
  $x^2+4x+3$ | $+$ $0$ $-$ $0$ $+$

• 3. Adım: Eşitsizliğin Çözüm Kümesini Belirleme

  Soru bizden $x^2 + 4x + 3 \leq 0$ olmasını istiyor. Bu, ifadenin negatif olduğu veya sıfıra eşit olduğu yerleri aradığımız anlamına gelir.

  İşaret tablosuna veya parabolün yönüne baktığımızda, ifadenin negatif olduğu aralık kökler arasında, yani $-3$ ile $-1$ arasındadır.

  Eşitsizlik $\leq 0$ olduğu için köklerin kendisi de çözüme dahildir (çünkü bu noktalarda ifade sıfıra eşittir).

  Bu durumda çözüm kümesi, kapalı aralık olan $[-3, -1]$ olur.

Bu adımları takip ettiğimizde, çözüm kümesinin $[-3, -1]$ olduğunu buluruz.

Cevap A seçeneğidir.