Birim çember üzerinde $\theta = \frac{5\pi}{4}$ radyanlık açıya karşılık gelen noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$
B) $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$
C) $\left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
D) $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$
Merhaba sevgili öğrenciler!
Birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatlarını bulmak, trigonometrinin temel konularından biridir. Şimdi $\theta = \frac{5\pi}{4}$ radyanlık açıya karşılık gelen noktanın koordinatlarını adım adım bulalım.
- 1. Birim Çemberi Hatırlayalım: Birim çember, merkezi başlangıç noktasında $(0,0)$ olan ve yarıçapı $1$ birim olan bir çemberdir. Birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatları $(x, y)$ her zaman $(\cos\theta, \sin\theta)$ şeklinde ifade edilir. Yani, $x = \cos\theta$ ve $y = \sin\theta$ olacaktır.
- 2. Açıyı Dereceye Çevirelim (İsteğe Bağlı ama Faydalı): Radyan cinsinden verilen açıyı dereceye çevirmek, açının hangi bölgede olduğunu görselleştirmemize yardımcı olabilir. $\pi$ radyan $180^\circ$'ye eşittir.
- $\theta = \frac{5\pi}{4} = \frac{5 \times 180^\circ}{4} = 5 \times 45^\circ = 225^\circ$.
- 3. Açının Hangi Bölgede Olduğunu Belirleyelim:
- $0^\circ$ ile $90^\circ$ arası 1. bölge.
- $90^\circ$ ile $180^\circ$ arası 2. bölge.
- $180^\circ$ ile $270^\circ$ arası 3. bölge.
- $270^\circ$ ile $360^\circ$ arası 4. bölge.
- Bizim açımız $225^\circ$ olduğu için, bu açı 3. bölgededir.
- 4. Bölgedeki İşaretleri Hatırlayalım:
- 1. bölgede: $x > 0$ (pozitif), $y > 0$ (pozitif)
- 2. bölgede: $x < 0$ (negatif), $y > 0$ (pozitif)
- 3. bölgede: $x < 0$ (negatif), $y < 0$ (negatif)
- 4. bölgede: $x > 0$ (pozitif), $y < 0$ (negatif)
- Açımız 3. bölgede olduğu için, hem $x$ koordinatı (kosinüs) hem de $y$ koordinatı (sinüs) negatif olmalıdır. Bu bilgiyle A ve D seçeneklerini eleyebiliriz.
- 5. Referans Açıyı Bulalım: Referans açı, açının x-ekseni ile yaptığı dar açıdır. 3. bölgedeki bir açı için referans açıyı bulmak için açıdan $180^\circ$'yi çıkarırız.
- Referans açı $= 225^\circ - 180^\circ = 45^\circ$.
- 6. Referans Açının Sinüs ve Kosinüs Değerlerini Bulalım: $45^\circ$ özel bir açıdır ve değerlerini bilmemiz gerekir.
- $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
- $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
- 7. Koordinatları Belirleyelim: Açımız 3. bölgede olduğu için hem kosinüs hem de sinüs değerleri negatif olacaktır.
- $x = \cos(\frac{5\pi}{4}) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
- $y = \sin(\frac{5\pi}{4}) = -\sin(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
- 8. Sonucu Yazalım: Buna göre, $\frac{5\pi}{4}$ radyanlık açıya karşılık gelen noktanın koordinatları $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ şeklindedir.
Bu koordinatlar seçenekler arasında B seçeneğinde yer almaktadır.
Cevap B seçeneğidir.
