Polinomlarda bölme işleminden kalanı bulmak için Kalan Teoremi'ni kullanırız. Bu teorem, bize pratik ve hızlı bir çözüm yolu sunar.
Kalan Teoremi Nedir?
- Bir $P(x)$ polinomunun $(x-a)$ gibi bir ifadeye bölümünden kalanı bulmak için, bölen $(x-a)$ ifadesini sıfıra eşitleriz.
- Böleni sıfıra eşitlediğimizde elde ettiğimiz $x$ değerini ($x=a$), $P(x)$ polinomunda yerine yazarız.
- Bu durumda, $P(a)$ değeri bize bölümden kalanı verir.
Şimdi sorumuzdaki $P(x) = x^4 + 3x^3 - 2x^2 + x - 5$ polinomunun $(x-2)$ ile bölümünden kalanı bulalım:
- Öncelikle, bölen $(x-2)$ ifadesini sıfıra eşitliyoruz:
$x-2 = 0 \Rightarrow x = 2$.
- Şimdi bu $x=2$ değerini $P(x)$ polinomunda yerine yazarak $P(2)$ değerini hesaplayacağız. Bu değer, aradığımız kalan olacaktır.
- $P(2) = (2)^4 + 3(2)^3 - 2(2)^2 + (2) - 5$
- Her bir terimi dikkatlice hesaplayalım:
- $(2)^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 8$
- $3(2)^3 = 3 \times (2 \times 2 \times 2) = 3 \times 8 = 24$
- $-2(2)^2 = -2 \times (2 \times 2) = -2 \times 4 = -8$
- $x$ terimi $2$'dir.
- Sabit terim $-5$'tir.
- Şimdi bu hesapladığımız değerleri toplayalım:
- $P(2) = 8 + 24 - 8 + 2 - 5$
- $P(2) = 32 - 8 + 2 - 5$
- $P(2) = 24 + 2 - 5$
- $P(2) = 26 - 5$
- $P(2) = 21$
Böylece, $P(x)$ polinomunun $(x-2)$ ile bölümünden kalan $21$ olarak bulunur.
Cevap D seçeneğidir.
