y = cot(√x) ise dy/dx aşağıdakilerden hangisidir?
Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda zincir kuralını kullanarak bir bileşke fonksiyonun türevini alacağız. Adım adım ilerleyelim:
Verilen fonksiyon $y = \cot(\sqrt{x})$ şeklindedir. Bu, bir fonksiyonun içine başka bir fonksiyonun yerleştirildiği bir bileşke fonksiyondur. Bu tür fonksiyonların türevini almak için Zincir Kuralı'nı kullanırız.
Zincir kuralı, eğer $y = f(g(x))$ ise $dy/dx = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ şeklinde ifade edilir. Yani, dış fonksiyonun türevini alırken iç fonksiyonu olduğu gibi bırakırız ve sonra iç fonksiyonun türevi ile çarparız.
Fonksiyonumuzu daha net görmek için iki parçaya ayıralım:
Dış fonksiyon $f(u) = \cot(u)$'nun $u$'ya göre türevini alalım. Kotanjant fonksiyonunun türevi $-\csc^2(u)$'dur.
$f'(u) = \frac{d}{du}(\cot(u)) = -\csc^2(u)$
İç fonksiyon $u = \sqrt{x}$'in $x$'e göre türevini alalım. $\sqrt{x}$ ifadesini $x^{1/2}$ olarak yazabiliriz. Üslü ifadelerin türev kuralını ($d/dx(x^n) = nx^{n-1}$) kullanarak:
$g'(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{d}{dx}(x^{1/2})$
$g'(x) = \frac{1}{2}x^{(1/2 - 1)} = \frac{1}{2}x^{-1/2}$
$x^{-1/2}$ ifadesi $1/\sqrt{x}$ olarak yazılabilir. Dolayısıyla:
$g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
Şimdi Zincir Kuralı formülünü kullanalım: $dy/dx = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
Bulduğumuz türevleri yerine koyalım:
$dy/dx = (-\csc^2(u)) \cdot \left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)$
Unutmayın, $u = \sqrt{x}$ idi. Bu değeri yerine yazalım:
$dy/dx = -\csc^2(\sqrt{x}) \cdot \left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)$
Son olarak, ifadeyi daha düzenli bir şekilde yazalım:
$dy/dx = -\frac{\csc^2(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}$
Bu sonuç, seçenekler arasında A seçeneği ile aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
