Bir aritmetik dizide ortak farkın sıfır olması durumunu adım adım inceleyelim:
- Aritmetik Dizi Nedir?
Bir aritmetik dizi, ardışık terimleri arasındaki farkın sabit olduğu bir sayı dizisidir. Bu sabit farka 'ortak fark' denir ve genellikle $d$ ile gösterilir. Bir aritmetik dizinin $n$. terimi, ilk terim $a_1$ ve ortak fark $d$ olmak üzere şu formülle bulunur: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
- Ortak Farkın Sıfır Olması Durumu:
Soru, ortak farkın ($d$) sıfır olduğunu belirtiyor. Bu durumu aritmetik dizi formülünde yerine koyalım.
- Formülü Uygulama:
Eğer $d=0$ ise, $n$. terim formülü şöyle olur:
$a_n = a_1 + (n-1) \times 0$
$a_n = a_1 + 0$
$a_n = a_1$
- Sonucun Yorumlanması:
Bu sonuç bize şunu söyler: Dizinin her terimi ($a_n$), dizinin ilk terimine ($a_1$) eşittir. Yani, dizinin tüm terimleri aynı değeri alır. Örneğin, ilk terim $a_1 = 7$ ise, $a_2 = 7$, $a_3 = 7$, $a_4 = 7$ ve bu böyle devam eder. Dizi $(7, 7, 7, 7, \dots)$ şeklinde olur.
- Seçeneklerin Değerlendirilmesi:
- A) Sabit dizi: Bir sabit dizi, tüm terimlerinin aynı olduğu bir dizidir. Yukarıdaki sonucumuzla birebir örtüşmektedir. Ortak farkın sıfır olması, dizinin her zaman aynı değeri tekrar etmesi anlamına gelir ki bu da sabit dizinin tanımıdır.
- B) Geometrik dizi: Bir geometrik dizide ardışık terimler arasındaki oran sabittir (ortak çarpan). Ortak farkın sıfır olması durumuyla ilgili değildir.
- C) Harmonik dizi: Bir harmonik dizide, terimlerin çarpmaya göre tersleri (reciprocals) bir aritmetik dizi oluşturur. Bu da ortak farkın sıfır olması durumuyla doğrudan ilgili değildir.
- D) Fibonacci dizisi: Bir Fibonacci dizisinde, ilk iki terim hariç her terim kendinden önceki iki terimin toplamıdır (örneğin $1, 1, 2, 3, 5, \dots$). Bu da aritmetik dizi tanımından ve ortak farktan farklı bir yapıdır.
Bu durumda, ortak farkın sıfır olduğu bir aritmetik dizi, tüm terimleri aynı olan bir 'sabit dizi' olur.
Cevap A seçeneğidir.
