Bileşke fonksiyonun türevi (Zincir kuralı) Test 1

y = cos(5x²) fonksiyonunun türevi aşağıdakilerden hangisidir?

A) -10xsin(5x²)
B) -sin(5x²)
C) 10xcos(5x²)
D) -5xsin(5x²)

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, zincir kuralını kullanarak bir trigonometrik fonksiyonun türevini nasıl alacağımızı adım adım öğreneceğiz. Fonksiyonumuz $y = \cos(5x^2)$.

• Adım 1: Fonksiyonu Tanımlama ve Zincir Kuralını Hatırlama

Verilen fonksiyon $y = \cos(5x^2)$ şeklindedir. Bu, bir fonksiyonun (kosinüs) başka bir fonksiyonun ($5x^2$) içine yerleştirildiği bileşik bir fonksiyondur. Bu tür fonksiyonların türevini alırken zincir kuralını kullanırız. Zincir kuralı bize şunu söyler: Eğer $y = f(g(x))$ ise, o zaman $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$'tir. Yani, dış fonksiyonun türevini alırken iç fonksiyonu olduğu gibi bırakırız ve sonra iç fonksiyonun türeviyle çarparız.

• Adım 2: Dış ve İç Fonksiyonları Belirleme

Fonksiyonumuz $y = \cos(5x^2)$ için:

• Dış fonksiyon $f(u) = \cos(u)$'dur. Burada $u$ bir yer tutucudur.
• İç fonksiyon $g(x) = 5x^2$'dir. Bu, dış fonksiyonun içine yerleştirilen kısımdır.
• Adım 3: Dış Fonksiyonun Türevini Alma

Dış fonksiyonumuz $f(u) = \cos(u)$ idi. Kosinüs fonksiyonunun türevi $-\sin(u)$'dur. Yani, $f'(u) = -\sin(u)$.

Zincir kuralının ilk kısmını uygularken, $u$ yerine iç fonksiyonu olduğu gibi bırakırız: $f'(g(x)) = -\sin(5x^2)$.

• Adım 4: İç Fonksiyonun Türevini Alma

İç fonksiyonumuz $g(x) = 5x^2$ idi. Bu fonksiyonun türevini almak için kuvvet kuralını kullanırız: $(cx^n)' = c \cdot n \cdot x^{n-1}$.

Burada $c=5$ ve $n=2$'dir. O halde, $g'(x) = 5 \cdot 2 \cdot x^{2-1} = 10x^1 = 10x$.

• Adım 5: Zincir Kuralını Uygulama ve Sonucu Bulma

Şimdi zincir kuralının her iki parçasını birleştirelim: $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

• $f'(g(x)) = -\sin(5x^2)$
• $g'(x) = 10x$

Bu iki ifadeyi çarptığımızda, $y' = -\sin(5x^2) \cdot (10x)$ sonucunu elde ederiz.

Daha düzenli bir şekilde yazarsak: $y' = -10x\sin(5x^2)$.

Bu sonuç, seçenekler arasında A seçeneği ile eşleşmektedir.

Cevap A seçeneğidir.