Merhaba sevgili öğrenciler!
Bir fonksiyona belirli bir noktada çizilen teğetin eğimini bulmak, o fonksiyonun o noktadaki anlık değişim oranını bulmak demektir. Matematikte bu işlemi türev yardımıyla yaparız. Yani, $f(x)$ fonksiyonuna $x=a$ noktasında çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun türevinin o noktadaki değeri olan $f'(a)$'ya eşittir.
- Adım 1: Fonksiyonu türev almaya uygun hale getirelim.
Verilen fonksiyon $f(x) = \frac{1}{x}$ şeklindedir. Türev alma kurallarını daha kolay uygulamak için bu ifadeyi üslü sayı şeklinde yazabiliriz: $f(x) = x^{-1}$.
- Adım 2: Fonksiyonun türevini alalım.
$f(x) = x^{-1}$ fonksiyonunun türevini almak için üslü fonksiyonların türev kuralını ($ (x^n)' = n \cdot x^{n-1} $) kullanırız.
$f'(x) = -1 \cdot x^{-1-1}$
$f'(x) = -1 \cdot x^{-2}$
Bu ifadeyi tekrar kesirli olarak yazarsak:
$f'(x) = -\frac{1}{x^2}$
- Adım 3: Teğetin eğimini bulmak için türevi istenen noktada değerlendirelim.
Soru bizden $x = 2$ noktasında çizilen teğetin eğimini istiyor. Bu yüzden bulduğumuz türev fonksiyonunda $x$ yerine $2$ yazmalıyız:
$f'(2) = -\frac{1}{(2)^2}$
$f'(2) = -\frac{1}{4}$
Buna göre, $f(x) = \frac{1}{x}$ fonksiyonuna $x = 2$ noktasında çizilen teğetin eğimi $-\frac{1}{4}$'tür.
Cevap A seçeneğidir.
