$$\frac{1}{\sqrt{3}+1} + \frac{1}{\sqrt{3}-1}$$ işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) $$\sqrt{3}$$
B) 1
C) 2
D) $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$
E) $$\frac{1}{2}$$
Sevgili öğrenciler, bu tür köklü ifadelerin toplamını bulmak için genellikle paydaları eşitleme veya her bir kesrin paydasını ayrı ayrı rasyonel yapma yöntemini kullanırız. Bu soruda paydaların birbirinin eşleniği olması işimizi çok kolaylaştıracak!
- Öncelikle verilen ifadeyi inceleyelim: $ \frac{1}{\sqrt{3}+1} + \frac{1}{\sqrt{3}-1} $.
- İki kesri toplamak için paydalarını eşitlememiz gerekir. Paydalar $ (\sqrt{3}+1) $ ve $ (\sqrt{3}-1) $ şeklindedir. Bu iki ifade birbirinin eşleniğidir.
- Eşlenik ifadelerin çarpımı, iki kare farkı özdeşliğini kullanarak kolayca bulunabilir: $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $.
- Bu durumda ortak payda $ (\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1) $ olacaktır. Hesaplayalım: $ (\sqrt{3})^2 - 1^2 = 3 - 1 = 2 $. Demek ki ortak paydamız $ 2 $ imiş.
- Şimdi ilk kesri ortak paydaya getirelim. $ \frac{1}{\sqrt{3}+1} $ kesrini $ (\sqrt{3}-1) $ ile genişletiriz (yani hem payı hem paydayı $ (\sqrt{3}-1) $ ile çarparız). Bu durumda ilk kesir $ \frac{1 \cdot (\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1) \cdot (\sqrt{3}-1)} = \frac{\sqrt{3}-1}{2} $ olur.
- İkinci kesri ortak paydaya getirelim. $ \frac{1}{\sqrt{3}-1} $ kesrini $ (\sqrt{3}+1) $ ile genişletiriz (yani hem payı hem paydayı $ (\sqrt{3}+1) $ ile çarparız). Bu durumda ikinci kesir $ \frac{1 \cdot (\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1) \cdot (\sqrt{3}+1)} = \frac{\sqrt{3}+1}{2} $ olur.
- Artık iki kesrin de paydası aynı olduğu için onları toplayabiliriz: $ \frac{\sqrt{3}-1}{2} + \frac{\sqrt{3}+1}{2} $.
- Paydalar aynı olduğu için payları toplayabiliriz: $ \frac{(\sqrt{3}-1) + (\sqrt{3}+1)}{2} $.
- Paydaki parantezleri açalım ve benzer terimleri birleştirelim: $ \frac{\sqrt{3}-1+\sqrt{3}+1}{2} $.
- Burada $ -1 $ ve $ +1 $ birbirini götürür. Geriye $ \sqrt{3}+\sqrt{3} $ kalır, bu da $ 2\sqrt{3} $ eder.
- Yani ifademiz $ \frac{2\sqrt{3}}{2} $ haline gelir.
- Son olarak, paydaki $ 2 $ ile paydadaki $ 2 $ sadeleşir ve sonucumuz $ \sqrt{3} $ olur.
Böylece işlemin sonucunu $ \sqrt{3} $ olarak buluruz.
Cevap A seçeneğidir.
